Determine um número racional r, tal que 0.

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar um racional r tal que fique estritamente abaixo de raiz2 e com diferença menor que 10^-5. O conteúdo aqui é aproximação de números irracionais por números racionais, usando truncamento decimal. Vamos precisar do valor numérico de raiz2 com boa precisão e da operação de truncar casas decimais.

Passo 2

Uma forma simples é usar o fato de que os racionais são densos em R: podemos pegar a expansão decimal de raiz2 e truncar depois de 5 casas decimais, garantindo erro inferior a 10^-5.

Passo 3

Sabendo que numericamente raiz2approx 1.41421356237, multiplicamos por 10^5, truncamos para baixo e voltamos à forma racional dividindo por 10^5. Fazendo isso, temos
r = lfloor 10^5 cdot raiz2 rfloor10^5 = 141421100000 = 1.41421

Passo 4

Agora calculamos a diferença:
raiz2 - r approx 1.41421356237 - 1.41421 = 0.00000356237 < 10^-5
Portanto essa escolha satisfaz 0 < raiz2 - r < 10^-5.

Resposta

r = dfrac141421100000

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