Determinar o máximo e o mínimo absolutos das funções abaixo:
na região
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função $ z = x^{2} + y^{2} - xy + x + y $ dentro da região definida por $ x \leq 0 $, $ y \leq 0 $ e $ x + y + 3 \geq 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre como encontrar extremos de funções sujeitas a restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região. Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, e igualá-las a zero.
As derivadas parciais são:
Agora, igualamos ambas a zero:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então, $ y = 2(-1) + 1 = -1 $.
Portanto, temos um ponto crítico em $ (-1, -1) $.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse ponto está dentro da região definida pelas restrições. Vamos verificar cada uma delas:
- $ x \leq 0 $: $ -1 \leq 0 $ ✔️
- $ y \leq 0 $: $ -1 \leq 0 $ ✔️
- $ x + y + 3 \geq 0 $: $ -1 + (-1) + 3 = 1 \geq 0 $ ✔️
Então, o ponto $ (-1, -1) $ está dentro da região.
Além dos pontos internos, precisamos analisar os extremos nas fronteiras da região. As fronteiras são definidas por:
- $ x = 0 $
- $ y = 0 $
- $ x + y + 3 = 0 $
Vamos analisar cada uma delas.
a) Sobre $ x = 0 $:
Substituindo $ x = 0 $ na função:
Para $ y \leq 0 $ e $ 0 + y + 3 \geq 0 \Rightarrow y \geq -3 $, então $ -3 \leq y \leq 0 $.
Essa é uma função quadrática em $ y $. O ponto mínimo ocorre no vértice da parábola:
Então, $ z = (-0.5)^{2} + (-0.5) = 0.25 - 0.5 = -0.25 $.
Também avaliamos nas extremidades:
- $ y = -3 $: $ z = 9 - 3 = 6 $
- $ y = 0 $: $ z = 0 + 0 = 0 $
b) Sobre $ y = 0 $:
Substituindo $ y = 0 $ na função:
Para $ x \leq 0 $ e $ x + 0 + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3 $, então $ -3 \leq x \leq 0 $.
Essa também é uma função quadrática em $ x $. O ponto mínimo ocorre no vértice:
Então, $ z = (-0.5)^{2} + (-0.5) = 0.25 - 0.5 = -0.25 $.
E nas extremidades:
- $ x = -3 $: $ z = 9 - 3 = 6 $
- $ x = 0 $: $ z = 0 + 0 = 0 $
c) Sobre $ x + y + 3 = 0 $:
Primeiro, expressamos $ y $ em função de $ x $:
Substituindo na função $ z $:
Simplificando:
Essa é uma função quadrática em $ x $ no intervalo onde $ x \leq 0 $ e $ y \leq 0 $.
O ponto mínimo ocorre no vértice:
Então, $ z = 3(-1.5)^{2} + 9(-1.5) + 6 = 3(2.25) - 13.5 + 6 = 6.75 - 13.5 + 6 = -0.75 $.
E nas extremidades:
- Quando $ x = -3 $, $ y = 0 $: já calculado $ z = 6 $
- Quando $ x = 0 $, $ y = -3 $: já calculado $ z = 6 $
Resposta
O máximo absoluto da função é $ z = 6 $ nos pontos $ (-3, 0) $ e $ (0, -3) $, e o mínimo absoluto é $ z = -0.75 $ no ponto $ (-1.5, -1.5) $.