Calcule as seguintes integrais duplas:
integral0^1 integral2 y^2 4 e^x^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integral2y^24,e^x^2,dx,dy
O conteúdo é integração em várias variáveis e vamos usar o teorema de Fubini para trocar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro descrevemos a região de integração D no plano (x,y):
D = (x,y)mid 0<= y<=1,;2y<= x<=2
Para inverter a ordem, vemos que x varia entre o menor valor de 2y (que, quando y=0, é 0) e 2. Para um x fixo em [0,2], a desigualdade 2y<= x y<= x/2, além de y>=0. Assim
0<= x<=2, 0<= y<=x2

Passo 3

Reescrevemos a integral trocando a ordem:
integral0^1!integral2y^24,e^x^2,dx,dy =integralx=0^2!integraly=0^x/24,e^x^2,dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em y, que é simples:
integraly=0^x/24,e^x^2,dy =4,e^x^2;l[yr]0^x/2 =4,e^x^2cdotx2 =2x,e^x^2
Então a integral passa a ser
integral0^22x,e^x^2,dx

Passo 5

Para calcular
integral0^22x,e^x^2,dx
fazemos a substituição u=x^2, logo du=2x,dx. Quando x=0, u=0; quando x=2, u=4. A integral fica
integralu=0^4e^u,du =l[e^ur]0^4 =e^4-1

Resposta

e^4-1

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