Questão 2.

Determine o limite da sequência fn(x)=(n+1n)^x n.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz pra achar o limite da sequência fn(x)=l((n+1)/nr)^x n. É matéria de limite de sequências e exponenciais, e vamos precisar lembrar da definição do número e como limntoinfty(1+1/n)^n=e e também da propriedade de limite limuto0ln(1+u)u=1.

Passo 2

Pra deixar mais fácil, vamos olhar o logaritmo natural de fn(x). Definimos yn=lnl(fn(x)r). Assim podemos usar as propriedades de log para simplificar a potência.

Passo 3

yn = lnl((1+1/n)^x nr) = x n cdot lnl(1+tfrac1nr)
Como colocamos u=1/n que tende a zero quando ntoinfty, e sabemos que limuto0ln(1+u)u=1, concluímos que limntoinftynln(1+1/n)=1. Logo limntoinftyyn=x.

Passo 4

Finalmente, como a função exponencial e^z é contínua, a gente tem limntoinftyfn(x)=limntoinftye^yn=e^lim yn=e^x.

Resposta

e^x

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