Encontre a solução geral das equações:
y^prime prime-y=(1+e^-t)^-2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - y = l(1 + e^-tr)^-2
O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante não trivial. Vamos primeiro achar a solução da homogênea e depois uma solução particular por variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - y = 0
O polinômio característico é lambda^2 - 1 = 0, com raízes lambda = pm1. Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^t + C2 e^-t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, tomo as soluções fundamentais
;y1 = e^t,;y2 = e^-t.
O wronskiano vale
W = e^t & e^-t[6pt] e^t & -e^-t = -2
As fórmulas são
u1' = -f(t),y2W, u2' = f(t),y1W,
com f(t) = (1 + e^-t)^-2.]

Passo 4

Calculando u1':
u1' = -(1+e^-t)^-2,e^-t-2 = e^-t2,(1+e^-t)^2
Para integrar, use u = 1+e^-t, du = -e^-tdt. Então
u1 = integral e^-t2(1+e^-t)^2,dt = 12integral -u^-2,du = 12,1u = 12(1+e^-t)

Passo 5

Calculando u2':
u2' = (1+e^-t)^-2,e^t-2 = -e^t2,(1+e^-t)^2
Fazendo a substituição s=e^-t, ,ds=-s,dt, chega-se por frações parciais (ou direto via manipulação) a
u2 = lnl(1+e^tr);-;e^t2;-;12(1+e^-t),
onde descartamos a constante de integração (ela se absorveria em yh).

Passo 6

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = e^t2(1+e^-t) + l(ln(1+e^t)-tfrace^t2-tfrac12(1+e^-t)r)e^-t
Simplificando e lembrando que o termo tfrace^t2 pode ser reabsorvido em C1e^t, obtém-se uma forma mais simples
yp = e^-t,lnl(1+e^tr);-;1
Portanto a solução geral é a soma de homogênea e particular.

Resposta

boxed y(t) = C1 e^t + C2 e^-t ;+; e^-t,lnl(1+e^tr);-;1

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