O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante não trivial. Vamos primeiro achar a solução da homogênea e depois uma solução particular por variação de parâmetros.
Passo 2
A equação homogênea associada é
O polinômio característico é , com raízes . Logo a solução geral da homogênea é
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para aplicar variação de parâmetros, tomo as soluções fundamentais .
O wronskiano vale
As fórmulas são
u1' = -f(t),y2W, u2' = f(t),y1W,
com f(t) = (1 + e^-t)^-2.]
Passo 4
Calculando u1':
u1' = -(1+e^-t)^-2,e^-t-2 = e^-t2,(1+e^-t)^2
Para integrar, use u = 1+e^-t, du = -e^-tdt. Então