Questão:
(a) Determine o ângulo entre os planos e .
(b) Determine as equações simétricas da reta interseç̧ão desses dois planos.
Passo 1
Então, a gente tem duas tarefas: (a) achar o ângulo entre os planos e ; (b) achar as equações simétricas da reta de interseção deles. Esse assunto envolve geometria analítica, mais especificamente produto escalar pra ângulo e produto vetorial pra direção da reta. Vamos precisar dos vetores normais dos planos, do produto escalar, normas e do produto vetorial.
Passo 2
Pra achar o ângulo entre planos, a gente usa que o ângulo entre eles é o mesmo entre os vetores normais. Então primeiro identifica os vetores normais: para é , e para é .
Passo 3
Agora calcula o produto escalar e as normas e . A fórmula é e .
Passo 4
Aplicando, . E , . Daí o cosseno do ângulo é . Então .
Passo 5
Agora parte (b): pra achar a reta de interseção, precisamos do vetor direção, que vem do produto vetorial . O produto vetorial é dado por:
Passo 6
Passo 7
Então o vetor direção da reta é d=(5,-2,-3).
Passo 8
Agora a gente precisa de um ponto que esteja em ambos os planos. Uma forma simples é fixar z=0. Substituindo em x+y+z=1 a gente tem x+y=1, e em x-2y+3z=1 vira x-2y=1. Resolvendo esse sistema com z=0 dá x=1 e y=0. Então um ponto é P0=(1,0,0).
Passo 9
Com ponto e direção em mãos, a forma paramétrica é x=1+5t, y=-2t, z=-3t. Aí as equações simétricas da reta ficam x-15=y-2=z-3.
Resposta
a) theta=arccosl(tfrac2raiz42r). b) As equações simétricas da reta de interseção são x-15=y-2=z-3.