2^a Questão:
(a) Determine o ângulo entre os planos x+y+z=1 e x-2 y+3 z=1.
sen theta=a times bb|l b|
(b) Determine as equações simétricas da reta interseç̧ão L desses dois planos.

Passo 1

Então, a gente tem duas tarefas: (a) achar o ângulo entre os planos x+y+z=1 e x-2y+3z=1; (b) achar as equações simétricas da reta de interseção deles. Esse assunto envolve geometria analítica, mais especificamente produto escalar pra ângulo e produto vetorial pra direção da reta. Vamos precisar dos vetores normais dos planos, do produto escalar, normas e do produto vetorial.

Passo 2

Pra achar o ângulo entre planos, a gente usa que o ângulo entre eles é o mesmo entre os vetores normais. Então primeiro identifica os vetores normais: para x+y+z=1 é n1=(1,1,1), e para x-2y+3z=1 é n2=(1,-2,3).

Passo 3

Agora calcula o produto escalar n1cdot n2 e as normas |n1| e |n2|. A fórmula é acdotb=a1b1+a2b2+a3b3 e |a|=raiza1^2+a2^2+a3^2.

Passo 4

Aplicando, n1cdot n2=1cdot1+1cdot(-2)+1cdot3=2. E |n1|=raiz1+1+1=raiz3, |n2|=raiz1+4+9=raiz14. Daí o cosseno do ângulo é costheta=|n1cdot n2||n1||n2|=2raiz3raiz14=2raiz42. Então theta=arccosl(tfrac2raiz42r).

Passo 5

Agora parte (b): pra achar a reta de interseção, precisamos do vetor direção, que vem do produto vetorial n1timesn2. O produto vetorial é dado por:

Passo 6

n1 times n2 = i & j & k 1 &1 &1 1 &-2 &3 = 5i-2j-3k

Passo 7

Então o vetor direção da reta é d=(5,-2,-3).

Passo 8

Agora a gente precisa de um ponto que esteja em ambos os planos. Uma forma simples é fixar z=0. Substituindo em x+y+z=1 a gente tem x+y=1, e em x-2y+3z=1 vira x-2y=1. Resolvendo esse sistema com z=0 x=1 e y=0. Então um ponto é P0=(1,0,0).

Passo 9

Com ponto e direção em mãos, a forma paramétrica é x=1+5t, y=-2t, z=-3t. Aí as equações simétricas da reta ficam x-15=y-2=z-3.

Resposta

a) theta=arccosl(tfrac2raiz42r). b) As equações simétricas da reta de interseção são x-15=y-2=z-3.

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