Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \sin \left(y^{2}\right) \sin \left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o limite de sin(y^2) cdot sin(1x) quando (x, y) se aproxima de (0,0). Esse exercício tá na área de limites de funções de várias variáveis. Pra resolver, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta perto de zero e usar algumas regras básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para sin(y^2). Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, mas quando y se aproxima de 0, y^2 também se aproxima de 0. Então, sin(y^2) vai se aproximar de sin(0) = 0. Ou seja:
limy to 0 sin(y^2) = 0

Passo 3

Agora, vamos considerar sin(1x). Aqui, a coisa fica um pouco mais complicada porque quando x se aproxima de 0, 1x fica cada vez maior, indo para positivo ou negativo infinito dependendo de como x se aproxima de 0. O que acontece com o seno de um número tão grande? O seno continua oscilando entre -1 e 1, sem se estabilizar em algum valor específico. Em outras palavras:
-1 <= sin(1x) <= 1

Passo 4

Agora, vamos juntar as duas partes da nossa função: sin(y^2) cdot sin(1x). Sabemos que sin(1x) está sempre entre -1 e 1, então podemos dizer que:
-|sin(y^2)| <= sin(y^2) cdot sin(1x) <= |sin(y^2)|
Mas já vimos no Passo 2 que sin(y^2) to 0 quando y to 0. Então, os limites de cima e de baixo da nossa função também estão se aproximando de 0.

Passo 5

Com isso, a gente pode aplicar o Teorema do Aperto (também conhecido como Teorema da “Sandwich”). Esse teorema diz que se uma função está “presa” entre duas outras que têm o mesmo limite em um ponto, então a função também tem esse limite. No nosso caso, como tanto o limite superior quanto o inferior se aproximam de 0, pelo Teorema do Aperto, o limite da nossa função também é 0.

Resposta

O limite é 0.

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