Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \sin \left(y^{2}\right) \sin \left(\frac{1}{x}\right)
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \sin \left(y^{2}\right) \sin \left(\frac{1}{x}\right)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o limite de
quando
se aproxima de
. Esse exercício tá na área de limites de funções de várias variáveis. Pra resolver, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta perto de zero e usar algumas regras básicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para
. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre
e
, mas quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Então,
vai se aproximar de
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos considerar
. Aqui, a coisa fica um pouco mais complicada porque quando
se aproxima de 0,
fica cada vez maior, indo para positivo ou negativo infinito dependendo de como
se aproxima de 0. O que acontece com o seno de um número tão grande? O seno continua oscilando entre
e
, sem se estabilizar em algum valor específico. Em outras palavras:
Passo 4
Agora, vamos juntar as duas partes da nossa função:
. Sabemos que
está sempre entre
e
, então podemos dizer que:
Mas já vimos no Passo 2 que
quando
. Então, os limites de cima e de baixo da nossa função também estão se aproximando de 0.
Passo 5
Com isso, a gente pode aplicar o Teorema do Aperto (também conhecido como Teorema da “Sandwich”). Esse teorema diz que se uma função está “presa” entre duas outras que têm o mesmo limite em um ponto, então a função também tem esse limite. No nosso caso, como tanto o limite superior quanto o inferior se aproximam de 0, pelo Teorema do Aperto, o limite da nossa função também é 0.
Resposta
O limite é 0.