Calcule as seguintes integrais duplas
(l) integral0^pi integral1^3 x cos (y) e^x+y d x d y

Passo 1

Nesse exercício, vamos calcular a integral dupla
integral0^pi integral1^3 xcos(y) e^x+y ,dx,dy
O conteúdo principal é integração dupla sobre um retângulo e separação de variáveis pelo Teorema de Fubini. Também usaremos integração por partes nas integrais em uma variável.

Passo 2

Observamos que e^x+y = e^x e^y. Assim, a integranda fica xcos y,e^x+y = (x e^x),(e^y cos y). Pelo Teorema de Fubini, a integral dupla se separa em produto de duas integrais simples:
[
\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{3} x\cos y,e^{x+y} ,dx,dy = \Bigl(\int_{1}^{3} x e^x ,dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{\pi} e^y \cos y ,dy\Bigr)

Passo 3

Calcular Ix = integral1^3 x e^x ,dx por partes. Definindo u = x e dv = e^x ,dx, temos:
integral x e^x ,dx = x e^x - integral e^x ,dx = x e^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C
Em seguida, avaliando de 1 a 3:
Ix = l[(x - 1)e^xr]1^3 = (3 - 1)e^3 - (1 - 1)e^1 = 2e^3

Passo 4

Calcular Iy = integral0^pi e^y cos y ,dy. Uma primitiva conhecida (ou por partes) é:
integral e^y cos y ,dy = e^y2(sin y + cos y) + C
Avaliando de 0 a pi:
Iy = l[tfrace^y2(sin y + cos y)r]0^pi = e^pi2(0 - 1) - 12(0 + 1) = -e^pi + 12

Passo 5

Multiplicando os resultados obtidos em Ix e Iy:
integral0^pi integral1^3 xcos y,e^x+y ,dx,dy = Ix cdot Iy = 2e^3 cdot l(-e^pi + 12r) = -e^3(e^pi + 1)

Resposta

-e3,(e\pi + 1)

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