Calcule as seguintes integrais duplas
(l)
(l)
Passo 1
Nesse exercício, vamos calcular a integral dupla
O conteúdo principal é integração dupla sobre um retângulo e separação de variáveis pelo Teorema de Fubini. Também usaremos integração por partes nas integrais em uma variável.
Passo 2
Observamos que
. Assim, a integranda fica
. Pelo Teorema de Fubini, a integral dupla se separa em produto de duas integrais simples:
[
\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{3} x\cos y,e^{x+y} ,dx,dy = \Bigl(\int_{1}^{3} x e^x ,dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{\pi} e^y \cos y ,dy\Bigr)
\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{3} x\cos y,e^{x+y} ,dx,dy = \Bigl(\int_{1}^{3} x e^x ,dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{\pi} e^y \cos y ,dy\Bigr)
Passo 3
Calcular
por partes. Definindo
e
, temos:
Em seguida, avaliando de 1 a 3:
Passo 4
Calcular
. Uma primitiva conhecida (ou por partes) é:
Avaliando de 0 a
:
Passo 5
Multiplicando os resultados obtidos em
e
:
Resposta
-e3,(e\pi + 1)