Encontre as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes funções
(b) f(x, y)=k x^n y^m, onde m, n, k constantes positivas.

Passo 1

Temos a função f(x,y)=k x^n y^m. O conteúdo é derivadas parciais de primeira e segunda ordem e vamos usar que a derivada de um monômio x^n em relação a x é n x^n-1 (e similar para y^m), tratando a outra variável como constante.

Passo 2

Para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, derivamos em relação a x e em relação a y separadamente, mantendo a outra variável constante. Usando a regra de potência e o fator constante, obtemos:

Passo 3

Para as derivadas parciais de segunda ordem puras, derivamos partial fpartial x novamente em x e partial fpartial y em y. Aplicando de novo a regra de potência, achamos:

Passo 4

Para a derivada parcial mista, derivamos partial fpartial x em relação a y. Nesse caso k n x^n-1 é constante em y e derivamos y^m em y usando a regra de potência. Além disso, pelo teorema de Clairaut, partial^2 fpartial xpartial y=partial^2 fpartial ypartial x.

Resposta

[\n partial fpartial x = k n x^n-1 y^m\n partial fpartial y = k m x^n y^m-1\n partial^2 fpartial x^2 = k n (n-1) x^n-2 y^m\n partial^2 fpartial y^2 = k m (m-1) x^n y^m-2\n partial^2 fpartial x partial y = k n m x^n-1 y^m-1\n]

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