Encontre as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes funções
(b)
, onde
constantes positivas.
(b)
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo é derivadas parciais de primeira e segunda ordem e vamos usar que a derivada de um monômio
em relação a
é
(e similar para
), tratando a outra variável como constante.
Passo 2
Para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, derivamos em relação a
e em relação a
separadamente, mantendo a outra variável constante. Usando a regra de potência e o fator constante, obtemos:
Passo 3
Para as derivadas parciais de segunda ordem puras, derivamos
novamente em
e
em
. Aplicando de novo a regra de potência, achamos:
Passo 4
Para a derivada parcial mista, derivamos
em relação a
. Nesse caso
é constante em
e derivamos
em
usando a regra de potência. Além disso, pelo teorema de Clairaut,
.
Resposta
[\n
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\n
\n
\n]