Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões R dadas:
f(x, y)=x^2 y, R=[0,3] *[1,2] .

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaR x^2 y , dA na região retangular R = [0,3] times [1,2]. Para isso, usamos o Teorema de Fubini, que aplica quando a região é retangular e a função é contínua, permitindo reescrever a integral dupla como uma integral iterada.

Passo 2

Escrevemos a integral iterada na ordem dy,dx:
integralx=0^3 integraly=1^2 x^2 y , dy , dx
Observamos que x^2 é constante em relação a y, então podemos fatorar x^2 dentro da integral interna.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
integraly=1^2 x^2 y , dy = x^2 integral1^2 y , dy = x^2 [ y^22 ]1^2 = x^2 (42 - 12) = 32 x^2

Passo 4

Calcular a integral externa em x:
integral0^3 32 x^2 , dx = 32 integral0^3 x^2 , dx = 32 [ x^33 ]0^3 = 32 cdot 273 = 32 cdot 9 = 272

Resposta

272

Exercícios relacionados