Classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo.
Nos itens abaixo classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo. Considere
campos vetoriais suaves e
uma função suave definidos no espaço
.
Para todo campo vetorial
, o rotacional
é ortogonal a
em todos os pontos.
Nos itens abaixo classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo. Considere
Para todo campo vetorial
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeiro ou falso a afirmação “Para todo campo vetorial
, o rotacional
é ortogonal a
em todos os pontos.” O conteúdo aqui é cálculo vetorial em
, em particular propriedades de
.
Passo 2
Para mostrar que é falsa, basta apresentar um contra-exemplo. Vamos escolher um campo suave fácil de manipular:
Passo 3
Calculamos o rotacional de
:
Passo 4
Agora fazemos o produto escalar entre
e
:
Esse resultado não é sempre zero (por exemplo, em
Passo 5
Portanto a afirmação é falsa, pois encontramos um campo
cujo rotacional não é ortogonal ao próprio campo. A condição
não vale em geral.
Resposta
Falsa