Classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo.
Nos itens abaixo classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo. Considere F, G campos vetoriais suaves e f uma função suave definidos no espaço R^3.
Para todo campo vetorial F, o rotacional rot(F) é ortogonal a F em todos os pontos.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeiro ou falso a afirmação “Para todo campo vetorial vec F, o rotacional nablatimesvec F é ortogonal a vec F em todos os pontos.” O conteúdo aqui é cálculo vetorial em R^3, em particular propriedades de nablatimes.

Passo 2

Para mostrar que é falsa, basta apresentar um contra-exemplo. Vamos escolher um campo suave fácil de manipular:
vec F(x,y,z)=lang<= -y,,z,,0rang<=

Passo 3

Calculamos o rotacional de vec F:
nablatimesvec F=lang<= partialpartial y(0)-partialpartial z(z),, partialpartial z(-y)-partialpartial x(0),, partialpartial x(z)-partialpartial y(-y) rang<= =lang<= -1,,0,,1rang<=

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar entre vec F e nablatimesvec F:
vec Fcdot(nablatimesvec F)=(-y)(-1)+zcdot0+0cdot1=y
Esse resultado não é sempre zero (por exemplo, em y=1 dá 1), logo vec F e nablatimesvec F nem sempre são ortogonais.

Passo 5

Portanto a afirmação é falsa, pois encontramos um campo vec F cujo rotacional não é ortogonal ao próprio campo. A condição vec Fcdot(nablatimesvec F)=0 não vale em geral.

Resposta

Falsa

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