Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regioes dadas:
integral duplaR(6 x^2-2 x) d A, R=[1,4] times[0,2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o enunciado pediu. Estamos trabalhando com Cálculo Integral, mais especificamente com integrais duplas sobre regiões retangulares. A função que vamos integrar é 6x^2 - 2x, e a região R está definida pelo intervalo x in [1,4] e y in [0,2]. Para resolver, vamos precisar aplicar o conceito de integrais duplas e entender como integrar uma função em duas variáveis sobre uma área retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que como a região R é um retângulo definido por x in [1,4] e y in [0,2], podemos calcular a integral dupla iterando as integrais em x e y. A integral dupla pode ser escrita como:
integral duplaR (6x^2 - 2x) , dA = integral1^4 integral0^2 (6x^2 - 2x) , dy , dx
Isso significa que vamos primeiro integrar a função em relação a y de 0 a 2, e depois integrar o resultado em relação a x de 1 a 4.

Passo 3

Vamos começar integrando a função 6x^2 - 2x em relação a y. Como a função não depende de y, a integral em relação a y é simples:
integral0^2 (6x^2 - 2x) , dy = (6x^2 - 2x) cdot y g|0^2 = (6x^2 - 2x)(2) - (6x^2 - 2x)(0) = 12x^2 - 4x

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado 12x^2 - 4x em relação a x no intervalo de 1 a 4:
integral1^4 (12x^2 - 4x) , dx
Vamos resolver essa integral termo a termo.

Passo 5

Integramos 12x^2 e -4x separadamente:
integral 12x^2 , dx = 12 cdot x^33 = 4x^3
integral -4x , dx = -4 cdot x^22 = -2x^2
Então, a integral total fica:
4x^3 - 2x^2 g|1^4

Passo 6

Agora, substituímos os limites de integração:
Para x = 4:
4(4)^3 - 2(4)^2 = 4 cdot 64 - 2 cdot 16 = 256 - 32 = 224
Para x = 1:
4(1)^3 - 2(1)^2 = 4 cdot 1 - 2 cdot 1 = 4 - 2 = 2
Agora, subtraímos o valor em x = 1 do valor em x = 4:
224 - 2 = 222

Resposta

A integral dupla integral duplaR (6x^2 - 2x) , dA sobre a região R = [1,4] times [0,2] é igual a 222.

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