Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regioes dadas: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o enunciado pediu. Estamos trabalhando com Cálculo Integral, mais especificamente com integrais duplas sobre regiões retangulares. A função que vamos integrar é , e a região está definida pelo intervalo e . Para resolver, vamos precisar aplicar o conceito de integrais duplas e entender como integrar uma função em duas variáveis sobre uma área retangular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que como a região é um retângulo definido por e , podemos calcular a integral dupla iterando as integrais em e . A integral dupla pode ser escrita como:
Isso significa que vamos primeiro integrar a função em relação a de 0 a 2, e depois integrar o resultado em relação a de 1 a 4.
Passo 3
Vamos começar integrando a função em relação a . Como a função não depende de , a integral em relação a é simples:
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado 12x^2 - 4x em relação a x no intervalo de 1 a 4: