Questão 5. (valor: 1,0) Determine a parte principal e a parte analítica da série de Laurent da função f(z)=e^z-2z^4 entorno do ponto z0=0.
Cálculo:

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Laurent de
f(z)=e^z-2z^4
em torno de z0=0, identificando a parte principal (termos de potência negativa) e a parte analítica (termos de potência não negativa). Para isso, vamos usar a série de Taylor de e^z e depois dividir termo a termo por z^4.

Passo 2

Lembrando que a série de Taylor de e^z centrada em 0 é
e^z = sumn=0^inftyz^nn! ;=; 1 + z + z^22! + z^33! + z^44! + cdots

Passo 3

Subtraindo 2 de e^z, obtemos
e^z-2 = l(1 + z + tfracz^22! + tfracz^33! + tfracz^44! + cdotsr) - 2 = -1 + z + z^22 + z^36 + sumn=4^inftyz^nn!

Passo 4

Agora dividimos essa série por z^4:
e^z-2z^4 = -1z^4 + zz^4 + 12,z^2z^4 + 16,z^3z^4 + sumn=4^inftyz^nn!,z^4
Simplificando as potências, fica
f(z) = -z^-4 + z^-3 + tfrac12,z^-2 + tfrac16,z^-1 + sumn=4^inftyz^,n-4n!

Passo 5

Os primeiros quatro termos são as potências negativas de z, compondo a parte principal, e a série restante em potências não negativas de z é a parte analítica. Substituindo m=n-4 em sumn=4^infty z^n-4/n!, temos summ=0^infty z^m/(m+4)!.

Resposta

Parte principal:
-1z^4 + 1z^3 + 12,z^2 + 16,z
Parte analítica:
summ=0^inftyz^m(m+4)!
que, em termos explícitos, é
124 + z120 + z^2720 + cdots

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