Questão 5. (valor: 1,0) Determine a parte principal e a parte analítica da série de Laurent da função
entorno do ponto
.
Cálculo:
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Laurent de
em torno de
, identificando a parte principal (termos de potência negativa) e a parte analítica (termos de potência não negativa). Para isso, vamos usar a série de Taylor de
e depois dividir termo a termo por
.
Passo 2
Lembrando que a série de Taylor de
centrada em
é
Passo 3
Subtraindo
de
, obtemos
Passo 4
Agora dividimos essa série por
:
Simplificando as potências, fica
Passo 5
Os primeiros quatro termos são as potências negativas de
, compondo a parte principal, e a série restante em potências não negativas de
é a parte analítica. Substituindo
em
, temos
.
Resposta
Parte principal:
Parte analítica:
que, em termos explícitos, é