Calcule, usando regras de derivação, a derivada das funções abaixo:
g(x)=x+1x^2+1+(2 x-1)(x^3-2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=x+1x^2+1+(2x-1)(x^3-2)
Aqui vamos usar as regras de derivação de soma, quociente e produto:
  • Regra da soma: l(f+ hr)'=f'+h'.
  • Regra do quociente: l(tfracuvr)'=u'v - uv'v^2.
  • Regra do produto: l(abr)'=a'b + ab'.

Passo 2

Derivamos o primeiro termo x+1x^2+1 pela regra do quociente, com u(x)=x+1 e v(x)=x^2+1. Então
u'(x)=1, v'(x)=2x,
e
gl(x+1x^2+1gr)' = 1cdot(x^2+1) - (x+1)cdot2x(x^2+1)^2 = x^2+1 -2x(x+1)(x^2+1)^2
Simplificando o numerador:
x^2+1 -2x^2 -2x = -x^2 -2x +1,
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gl(x+1x^2+1gr)' = -x^2 -2x +1(x^2+1)^2

Passo 3

Derivamos o segundo termo (2x-1)(x^3-2) pela regra do produto, com a(x)=2x-1 e b(x)=x^3-2. Então
a'(x)=2, b'(x)=3x^2,
e
l((2x-1)(x^3-2)r)' =2,(x^3-2) + (2x-1),3x^2 =2x^3 -4 +6x^3 -3x^2 =8x^3 -3x^2 -4

Passo 4

Pela regra da soma, somamos as derivadas dos dois termos:
g'(x) = -x^2 -2x +1(x^2+1)^2 ;+; l(8x^3 -3x^2 -4r)

Resposta

g'(x) = -x^2 -2x +1(x^2+1)^2 + 8x^3 -3x^2 -4

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