Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regioes dadas:
integral duplaR(4 x^3-9 x^2 y^2) d A, R=[0,1] times[1,2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A gente precisa calcular a integral de 4x^3 - 9x^2y^2 sobre a região R, que vai de x = 0 até x = 1 e de y = 1 até y = 2. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais duplas sobre retângulos. Para resolver, vamos precisar entender como separar a integral em duas integrais simples e calcular uma de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla como um produto de duas integrais simples. Como a região R é um retângulo, podemos fazer isso facilmente:
integral duplaR (4x^3 - 9x^2y^2) , dA = integralx=0^1 integraly=1^2 (4x^3 - 9x^2y^2) , dy , dx
Aqui, escolhemos integrar em relação a y primeiro e depois em relação a x.

Passo 3

Vamos começar integrando a função 4x^3 - 9x^2y^2 em relação a y, mantendo x constante. A integral de 4x^3 em relação a y é simplesmente 4x^3y, porque 4x^3 é tratado como uma constante durante essa integração. Para a segunda parte, a integral de -9x^2y^2 em relação a y é -9x^2 cdot y^33 = -3x^2y^3.
Então, após integrar em relação a y, temos:
integraly=1^2 (4x^3 - 9x^2y^2) , dy = 4x^3y - 3x^2y^3 |1^2

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de y = 1 e y = 2:
Para y = 2:
4x^3(2) - 3x^2(2)^3 = 8x^3 - 24x^2
Para y = 1:
4x^3(1) - 3x^2(1)^3 = 4x^3 - 3x^2
Subtraindo o valor em y = 1 do valor em y = 2:
(8x^3 - 24x^2) - (4x^3 - 3x^2) = 4x^3 - 21x^2

Passo 5

Agora, temos que integrar o resultado 4x^3 - 21x^2 em relação a x de 0 a 1:
integralx=0^1 (4x^3 - 21x^2) , dx
Vamos integrar termo a termo:
  • A integral de 4x^3 em relação a x é 4 cdot x^44 = x^4.
  • A integral de -21x^2 em relação a x é -21 cdot x^33 = -7x^3.
Então, a integral completa é:
x^4 - 7x^3 |0^1

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de x = 0 e x = 1:
Para x = 1:
1^4 - 7(1)^3 = 1 - 7 = -6
Para x = 0:
0^4 - 7(0)^3 = 0 - 0 = 0
Subtraindo o valor em x = 0 do valor em x = 1:
-6 - 0 = -6

Resposta

A integral dupla integral duplaR(4x^3 - 9x^2y^2) , dA sobre a região R = [0,1] times [1,2] é igual a -6.

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