Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regioes dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A gente precisa calcular a integral de sobre a região , que vai de até e de até . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais duplas sobre retângulos. Para resolver, vamos precisar entender como separar a integral em duas integrais simples e calcular uma de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla como um produto de duas integrais simples. Como a região é um retângulo, podemos fazer isso facilmente:
Aqui, escolhemos integrar em relação a primeiro e depois em relação a .
Passo 3
Vamos começar integrando a função em relação a , mantendo constante. A integral de em relação a é simplesmente , porque é tratado como uma constante durante essa integração. Para a segunda parte, a integral de em relação a é .
Então, após integrar em relação a , temos:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de y = 1 e y = 2:
Para y = 2:
4x^3(2) - 3x^2(2)^3 = 8x^3 - 24x^2
Para y = 1:
4x^3(1) - 3x^2(1)^3 = 4x^3 - 3x^2
Subtraindo o valor em y = 1 do valor em y = 2:
(8x^3 - 24x^2) - (4x^3 - 3x^2) = 4x^3 - 21x^2
Passo 5
Agora, temos que integrar o resultado 4x^3 - 21x^2 em relação a x de 0 a 1:
integralx=0^1 (4x^3 - 21x^2) , dx
Vamos integrar termo a termo:
A integral de 4x^3 em relação a x é 4 cdot x^44 = x^4.
A integral de -21x^2 em relação a x é -21 cdot x^33 = -7x^3.
Então, a integral completa é:
x^4 - 7x^3 |0^1
Passo 6
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de x = 0 e x = 1:
Para x = 1:
1^4 - 7(1)^3 = 1 - 7 = -6
Para x = 0:
0^4 - 7(0)^3 = 0 - 0 = 0
Subtraindo o valor em x = 0 do valor em x = 1:
-6 - 0 = -6
Resposta
A integral dupla integral duplaR(4x^3 - 9x^2y^2) , dA sobre a região R = [0,1] times [1,2] é igual a -6.