Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regioes dadas:
integral duplaR x sen y d A, R=[0,2] times[0, pi / 2]

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
integral duplaR x,sen y,dA
sobre a região retangular R=[0,2]times[0,pi/2].
O conteúdo aqui é aplicação do Teorema de Fubini e, em particular, reconhecer que a função f(x,y)=x,sen y é produto de uma parte que depende só de x e outra que depende só de y.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
integral duplaR x,sen y,dA =integralx=0^2!l(integraly=0^pi/2 x,sen y,dyr)dx

Passo 3

Como x é constante em relação a y, a integral interna separa-se:
integraly=0^pi/2 x,sen y,dy = x;integraly=0^pi/2sen y,dy
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integral duplaR x,sen y,dA =integral0^2 x,dx;timesintegral0^pi/2sen y,dy

Passo 4

Calcular a parte em y:
integral0^pi/2sen y,dy =l[-cos yr]0^pi/2 =-cosl(tfracpi2r)+cos(0) =0+1 =1

Passo 5

Calcular a parte em x:
integral0^2 x,dx =l[tfracx^22r]0^2 =tfrac2^22-0 =2

Passo 6

Multiplicando os resultados:
integral duplaR x,sen y,dA = l(integral0^2x,dxr)timesl(integral0^pi/2sen y,dyr) =2times1 =2

Resposta

O valor da integral é 2.

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