Questão 6. (valor: 1,0) Considerando a função f(z)=cos (z)2 z^3, determine a série de Laurent, a singularidade, o polo e o resíduo.
Cálculo:

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função
f(z)=cos(z)2,z^3
em torno de z=0. Vamos encontrar a série de Laurent, identificar o tipo de singularidade em z=0, dizer a ordem do polo e calcular o resíduo.

Passo 2

Começamos pela expansão em série de Taylor de cos(z) em torno de z=0:
cos(z)=sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,z^2n

Passo 3

Dividindo termo a termo por 2,z^3, obtemos a série de Laurent de f(z):
f(z)=12,z^3sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,z^2n =sumn=0^infty(-1)^n2,(2n)!,z^2n-3

Passo 4

Escrevendo as primeiras parcelas dessa série, fica:
f(z) =12gl(z^-30!-z^-12!+z^14!-z^36!+cdotsgr) =12z^-3-14z^-1+148z+cdots

Passo 5

Como há um número finito de termos de potência negativa (até z^-3), a singularidade em z=0 é um polo. O maior expoente negativo é -3, logo é um polo de ordem 3.

Passo 6

O resíduo é o coeficiente de z^-1 na série de Laurent. Da expansão acima, esse coeficiente é
-14

Resposta

A série de Laurent em torno de z=0 é
f(z)=sumn=0^infty(-1)^n2,(2n)!,z^2n-3 =12z^-3-14z^-1+148z+cdots
A singularidade em z=0 é um polo de ordem 3, e o resíduo é -tfrac14.

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