Questão 6. (valor: 1,0) Considerando a função
, determine a série de Laurent, a singularidade, o polo e o resíduo.
Cálculo:
Cálculo:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função
em torno de
. Vamos encontrar a série de Laurent, identificar o tipo de singularidade em
, dizer a ordem do polo e calcular o resíduo.
Passo 2
Começamos pela expansão em série de Taylor de
em torno de
:
Passo 3
Dividindo termo a termo por
, obtemos a série de Laurent de
:
Passo 4
Escrevendo as primeiras parcelas dessa série, fica:
Passo 5
Como há um número finito de termos de potência negativa (até
), a singularidade em
é um polo. O maior expoente negativo é
, logo é um polo de ordem 3.
Passo 6
O resíduo é o coeficiente de
na série de Laurent. Da expansão acima, esse coeficiente é
Resposta
A série de Laurent em torno de
é
A singularidade em
é um polo de ordem 3, e o resíduo é
.