Utilize o teste da razão, para determinar qual das seguintes séries, converge ou diverge:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série
e precisa descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é um método matemático para analisar o comportamento de séries infinitas.
Passo 2
O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite do quociente entre o termo seguinte da série e o termo atual. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, ela diverge; e se for igual a 1, o teste não dá uma resposta definitiva.
Passo 3
Vamos identificar os termos da nossa série. O termo geral é
. Então, o próximo termo é
.
Passo 4
Agora, vamos montar o quociente entre
e
:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Vamos calcular o limite desse quociente quando
tende ao infinito:
Resposta
Como o limite é infinito, que é maior que 1, pelo Teste da Razão, a série
diverge.