Utilize o teste da razão, para determinar qual das seguintes séries, converge ou diverge:
sumn=1^infty e^-n n!;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série sumn=1^infty e^-n n! e precisa descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é um método matemático para analisar o comportamento de séries infinitas.

Passo 2

O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite do quociente entre o termo seguinte da série e o termo atual. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, ela diverge; e se for igual a 1, o teste não dá uma resposta definitiva.

Passo 3

Vamos identificar os termos da nossa série. O termo geral é an = e^-n n!. Então, o próximo termo é an+1 = e^-(n+1) (n+1)!.

Passo 4

Agora, vamos montar o quociente entre an+1 e an:
an+1an = e^-(n+1) (n+1)!e^-n n!
Simplificando a expressão:
an+1an = e^-1 (n+1)

Passo 5

Vamos calcular o limite desse quociente quando n tende ao infinito:
limn to infty e^-1 (n+1) = e^-1 cdot infty = infty

Resposta

Como o limite é infinito, que é maior que 1, pelo Teste da Razão, a série sumn=1^infty e^-n n! diverge.

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