Utilize o teste de comparação, para determinar qual das seguintes séries, converge ou diverge:
sumn=1^infty 1raiz[3]n^2+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série sumn=1^infty 1raiz[3]n^2+1 e precisamos usar o teste de comparação pra descobrir se ela converge ou diverge. A matéria aqui envolve séries infinitas e testes de convergência, especificamente o teste de comparação, que ajuda a comparar a série em questão com outra que a gente já conhece o comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor como ela se comporta quando n fica muito grande. Observa que, para grandes valores de n , o termo n^2 + 1 é aproximadamente igual a n^2 , então a expressão raiz[3]n^2 + 1 fica próxima de raiz[3]n^2 = n^2/3 .

Passo 3

Agora, nossa série original sumn=1^infty 1raiz[3]n^2+1 se aproxima de sumn=1^infty 1n^2/3 para grandes n . Vamos chamar essa última série de sumn=1^infty 1n^p , onde p = 23 .

Passo 4

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^p converge se p > 1 e diverge se p <= 1 . No nosso caso, p = 23 , que é menor que 1. Então, a série sumn=1^infty 1n^2/3 diverge.

Passo 5

Agora, aplicamos o teste de comparação. Como 1raiz[3]n^2+1 é aproximadamente igual a 1n^2/3 e a série sumn=1^infty 1n^2/3 diverge, a nossa série original também diverge.

Resposta

Portanto, a série sumn=1^infty 1raiz[3]n^2+1 diverge.

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