Utilize o teste de comparação, para determinar qual das seguintes séries, converge ou diverge:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série
e precisamos usar o teste de comparação pra descobrir se ela converge ou diverge. A matéria aqui envolve séries infinitas e testes de convergência, especificamente o teste de comparação, que ajuda a comparar a série em questão com outra que a gente já conhece o comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor como ela se comporta quando
fica muito grande. Observa que, para grandes valores de
, o termo
é aproximadamente igual a
, então a expressão
fica próxima de
.
Passo 3
Agora, nossa série original
se aproxima de
para grandes
. Vamos chamar essa última série de
, onde
.
Passo 4
Sabemos que a série
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é menor que 1. Então, a série
diverge.
Passo 5
Agora, aplicamos o teste de comparação. Como
é aproximadamente igual a
e a série
diverge, a nossa série original também diverge.
Resposta
Portanto, a série
diverge.