Calcule as seguintes integrais efetuando a mudança de coordenadas apropriada.
integralegral duplaR(x+y) e^(x+y)(x-y) d A em que R é o retângulo limitado pelas retas x-y=0, x-y=2, x+y=0 e x+y=3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR(x+y),e^(x+y)(x-y),dA
onde R é o retângulo limitado pelas retas
x-y=0, x-y=2, x+y=0, x+y=3
O conteúdo da matéria é mudança de variáveis em integrais duplas, usando coordenadas
u = x+y, v = x-y

Passo 2

Definimos a transformação
u = x+y, v = x-y
Invertendo,
x = u+v2, y = u-v2
No plano uv, as retas viram
u=0, u=3, v=0, v=2,
isto é, o domínio imagem Ruv é o retângulo
0 <= u <= 3, 0 <= v <= 2

Passo 3

Calculamos o jacobiano da transformação (u,v)mapsto(x,y):
J = det partial x/partial u & partial x/partial v partial y/partial u & partial y/partial v = det tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & -tfrac12 = -tfrac12
Em módulo vale lvert Jrvert = tfrac12, logo
dA = tfrac12,du,dv

Passo 4

Na nova variável, x+y = u e (x+y)(x-y)=u,v. Assim a integral fica
integral duplaR(x+y)e^(x+y)(x-y),dA =integralu=0^3!integralv=0^2 u,e^u,v,l(tfrac12,dv,dur)
Fazendo primeiro a integral em v:
integralv=0^2u,e^u,v,dv =l[e^u,vr]v=0^2 =e^2u-1
Logo a integral torna-se
tfrac12integral0^3l(e^2u-1r),du

Passo 5

Integramos em u:
tfrac12integral0^3e^2u,du -tfrac12integral0^31,du =tfrac12l[tfrace^2u2r]0^3 -tfrac12l[,u,r]0^3 =tfrac12l(tfrace^6-12-3r)
Simplificando,
12l(e^6-1-62r) =e^6-74

Resposta

integral duplaR(x+y),e^(x+y)(x-y),dA =e^6-74

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