Calcule as seguintes integrais efetuando a mudança de coordenadas apropriada.
em que
é o retângulo limitado pelas retas
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o retângulo limitado pelas retas
O conteúdo da matéria é mudança de variáveis em integrais duplas, usando coordenadas
Passo 2
Definimos a transformação
Invertendo,
No plano
, as retas viram
isto é, o domínio imagem
é o retângulo
Passo 3
Calculamos o jacobiano da transformação
:
Em módulo vale
, logo
Passo 4
Na nova variável,
e
. Assim a integral fica
Fazendo primeiro a integral em
:
Logo a integral torna-se
Passo 5
Integramos em
:
Simplificando,