Utilize integral dupla para calcular a área de:
Uma pétala da rosácea de três pétalas r=cos (3 theta)

Passo 1

O enunciado pede a área de uma pétala da rosácea de três pétalas dada em coordenadas polares por r=cos(3theta). O conteúdo aqui é área em coordenadas polares via integral dupla, usando a fórmula
Área(D)=integral duplaDdA Á
e, em coordenadas polares,
dA = r,dr,dtheta

Passo 2

Precisamos achar o intervalo em theta que descreve uma pétala (onde r>=0). Como r=cos(3theta)>=0 quando
-,pi2<=3theta<=pi2
isto é
-,pi6<=theta<=pi6

Passo 3

Montamos a integral dupla para a área de uma pétala:
Área=integraltheta=-pi6^pi6 integralr=0^cos(3theta)r,dr,dtheta Á

Passo 4

Fazendo a integral em r:
integral0^cos(3theta)r,dr =12l[cos(3theta)r]^2 =12cos^2(3theta)
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Área=12integral-pi6^pi6cos^2(3theta),dtheta Á

Passo 5

Usamos a identidade cos^2u=(1+cos(2u))/2 com u=3theta:
cos^2(3theta) =1+cos(6theta)2,
então
Área =12integral-pi6^pi61+cos(6theta)2,dtheta =14integral-pi6^pi6l(1+cos(6theta)r),dtheta Á
Integramos:
integral!1,dtheta=theta, integral!cos(6theta),dtheta=16sin(6theta)
Ao avaliar de -tfracpi6 a tfracpi6, o termo em sin(6theta) se anula, e
theta|-pi6^pi6 =pi6-l(-pi6r) =pi3
Portanto
Área =14cdotpi3 =pi12 Á

Resposta

pi12

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