Utilize integral dupla para calcular a área de:
Uma pétala da rosácea de três pétalas
Uma pétala da rosácea de três pétalas
Passo 1
O enunciado pede a área de uma pétala da rosácea de três pétalas dada em coordenadas polares por
. O conteúdo aqui é área em coordenadas polares via integral dupla, usando a fórmula
e, em coordenadas polares,
Passo 2
Precisamos achar o intervalo em
que descreve uma pétala (onde
). Como
quando
isto é
Passo 3
Montamos a integral dupla para a área de uma pétala:
Passo 4
Fazendo a integral em
:
Logo
Passo 5
Usamos a identidade
com
:
então
Integramos:
Ao avaliar de
a
, o termo em
se anula, e
Portanto