Calcule as seguintes integrais e esboce a região \mathcal{R} determinada pelos limites de integração. Afirme em cada caso se a região é do tipo I, II ou III.
\int_{1}^{2} \int_{2 x}^{3 x+1} d y d x

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Calcular a integral dupla
\int_{1}^{2}\int_{2x}^{3x+1} dy\,dx.
  • Esboçar a região \mathcal{R} determinada pelos limites de integração.
  • Dizer se a região é do tipo I, II ou III.
Informações dadas pelos limites:
  • x varia entre 1 e 2: 1\le x\le2.
  • Para cada x nessa faixa, y varia entre 2x (limite inferior) e 3x+1 (limite superior): 2x\le y\le 3x+1.

Passo 2

Interpretação da integral e primeiro passo de cálculo:
  • A integral interna é em relação a y e a integrando é 1 (não há função explícita além de dy), então o resultado da integração interna é a diferença entre os extremos em y.
  • Lembrete rápido (fórmula): para integrar em y a função constante 1,
\int dy = y + C,
portanto, ao avaliar entre dois limites a(x) e b(x),
\int_{a(x)}^{b(x)} 1\,dy = b(x)-a(x).

Passo 3

Aplicando a integração interna:
\int_{2x}^{3x+1} dy = \bigl.y\bigr|_{y=2x}^{y=3x+1} = (3x+1)-2x = x+1.
Portanto a integral dupla fica reduzida a uma integral simples em x:
\int_{1}^{2}\int_{2x}^{3x+1} dy\,dx = \int_{1}^{2} (x+1)\,dx.

Passo 4

Integrando em x:
  • Fórmulas usadas:
    • \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}+C.
    • \displaystyle \int 1\,dx = x + C.
  • Então
\int_{1}^{2} (x+1)\,dx = \left(\frac{x^{2}}{2}+x\right)\Bigg|_{1}^{2}.
Avaliação nos limites:
\left(\frac{2^{2}}{2}+2\right)-\left(\frac{1^{2}}{2}+1\right) = \left(\frac{4}{2}+2\right)-\left(\frac{1}{2}+1\right) = (2+2)-\left(\tfrac{1}{2}+1\right) =4-\tfrac{3}{2}=\tfrac{5}{2}.

Passo 5

Interpretação geométrica (a integral mede a área de \mathcal{R}):
  • Para cada x entre 1 e 2, a altura vertical do “segmento” em y é 3x+1-2x=x+1.
  • Integrando essa altura ao longo de x obtém-se a área total, que calculamos como \tfrac{5}{2}.

Passo 6

Esboço da região \mathcal{R} e pontos notáveis (descrição para desenhar à mão):
  • As curvas/lados que limitam \mathcal{R} são as retas y=2x (inferior) e y=3x+1 (superior), e as retas verticais x=1 e x=2.
  • Ver os vértices: para x=1 obtemos os pontos (1,2) e (1,4). Para x=2 obtemos (2,4) e (2,7).
  • Para esboçar: desenhar eixos x e y, traçar as retas y=2x e y=3x+1, marcar x=1 e x=2 e sombrear a região entre essas duas retas para 1\le x\le2. Os quatro vértices a ligar são (1,2), (1,4), (2,7), (2,4).

Passo 7

Classificação do tipo da região:
  • Definição prática:
    • Região do tipo I (simples em x): existe um intervalo a\le x\le b tal que, para cada x nesse intervalo, y varia entre duas funções g_{1}(x) e g_{2}(x).
    • Região do tipo II (simples em y): existe um intervalo c\le y\le d tal que, para cada y nesse intervalo, x varia entre duas funções h_{1}(y) e h_{2}(y).
  • No nosso caso os limites já estão na forma 1\le x\le2 e 2x\le y\le 3x+1, isto é, para cada x em [1,2] y varia entre duas funções de x. Logo \mathcal{R} é do tipo I.
  • Observação: daria para escrever \mathcal{R} como união de duas regiões simples em y (tipo II) separando por y=4, mas isso exige dividir o intervalo em duas partes. Como há uma descrição simples e única na forma de tipo I, a classificação correta e mais natural é tipo I.

Resposta

\int_{1}^{2}\int_{2x}^{3x+1} dy\,dx = \tfrac{5}{2}
\mathcal{R}=\{(x,y)\mid 1\le x\le2,\;2x\le y\le3x+1\}, região do tipo I (simples em x).

Exercícios relacionados