Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
.
Informações dadas e relevantes:
- A variável de integração é
. - A função a integrar é
. - Queremos uma primitiva (antiderivada) geral, então incluir a constante de integração
.
Passo 2
Estratégia básica (sem resolver ainda): aqui é muito útil o método da substituição. Vou explicar o porquê de modo bem didático.
A ideia da substituição é reconhecer uma parte da função cujo derivado aparece multiplicando-a. Observe a parte interna
dentro do exponencial
. A derivada dessa parte é
Perceba que a nossa integranda tem um fator
. Isso sugere definir uma nova variável
igual a
para transformar a integral numa forma simples. Agora faço essa substituição passo a passo.
Passo 3
Faço a substituição
. Calculo
:
Isolando
obtemos
Passo 4
Troco a integral em
pela integral em
. Substituindo
e
na integral original:
Passo 5
Agora a integral é simples: a primitiva de
em relação a
é
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Volto à variável original
substituindo
:
Passo 7
Verificação rápida (para ter certeza): derivo a resposta e vejo se volto à integranda. Pela regra da cadeia,
que é exatamente a integranda. Então a primitiva está correta.
Dica prática: sempre que vir
a primitiva costuma ser
(ou um múltiplo, se faltar/ sobrar constantes) — isso é só a versão da substituição aplicada à exponencial.