Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int x^{2} e^{x^{3}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int x^{2} e^{x^{3}}\,dx.
Informações dadas e relevantes:
  • A variável de integração é x.
  • A função a integrar é x^{2} e^{x^{3}}.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) geral, então incluir a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia básica (sem resolver ainda): aqui é muito útil o método da substituição. Vou explicar o porquê de modo bem didático.
A ideia da substituição é reconhecer uma parte da função cujo derivado aparece multiplicando-a. Observe a parte interna x^{3} dentro do exponencial e^{x^{3}}. A derivada dessa parte é
\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2}.
Perceba que a nossa integranda tem um fator x^{2}. Isso sugere definir uma nova variável u igual a x^{3} para transformar a integral numa forma simples. Agora faço essa substituição passo a passo.

Passo 3

Faço a substituição \displaystyle u = x^{3}. Calculo du:
du = 3x^{2}\,dx.
Isolando x^{2}\,dx obtemos
x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Troco a integral em x pela integral em u. Substituindo u e x^{2}\,dx na integral original:
\int x^{2} e^{x^{3}}\,dx = \int e^{u}\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int e^{u}\,du.

Passo 5

Agora a integral é simples: a primitiva de e^{u} em relação a u é e^{u}. Portanto
\frac{1}{3}\int e^{u}\,du = \frac{1}{3}e^{u} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Volto à variável original x substituindo u = x^{3}:
\frac{1}{3}e^{u} + C = \frac{1}{3}e^{x^{3}} + C.

Passo 7

Verificação rápida (para ter certeza): derivo a resposta e vejo se volto à integranda. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{3}e^{x^{3}}\right)=\frac{1}{3}e^{x^{3}}\cdot 3x^{2}=x^{2}e^{x^{3}},
que é exatamente a integranda. Então a primitiva está correta.
Dica prática: sempre que vir \int f'(x)e^{f(x)}\,dx a primitiva costuma ser e^{f(x)} (ou um múltiplo, se faltar/ sobrar constantes) — isso é só a versão da substituição aplicada à exponencial.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}e^{x^{3}}+C

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