Calcule as seguintes integrais: (Frações parciais)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A gente vai usar frações parciais, que é uma técnica de cálculo integral que ajuda a quebrar frações mais complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos fatorar o denominador e depois decompor a fração em frações menores.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Para fatorar um polinômio do terceiro grau, procuramos raízes que zeram a expressão. Testando valores simples:
- Para
: . Então, é um fator.
Agora, dividimos
por
usando a divisão polinomial ou a regra de Horner:
Agora, fatoramos
:
Então, o denominador fatorado é:
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, vamos escrever a fração
como a soma de frações parciais. A forma geral para isso é:
Onde
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito:
Distribuindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Temos um sistema de três equações:
Passo 6
Vamos resolver o sistema passo a passo.
Da primeira equação:
Substituímos
na segunda equação:
Agora, substituímos
e
na terceira equação:
Agora, encontramos
e
:
Passo 7
Agora temos os valores de
,
e
. Vamos substituir de volta na decomposição das frações parciais:
Podemos simplificar:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando cada um:
Resposta
Juntando tudo, a integral é:
Onde
é a constante de integração.