Calcule as seguintes integrais: (Frações parciais) integral x^2+2x^3-3 x+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral x^2+2x^3-3x+2 , dx. A gente vai usar frações parciais, que é uma técnica de cálculo integral que ajuda a quebrar frações mais complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos fatorar o denominador e depois decompor a fração em frações menores.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - 3x + 2. Para fatorar um polinômio do terceiro grau, procuramos raízes que zeram a expressão. Testando valores simples:
  • Para x = 1: 1 - 3 + 2 = 0. Então, x - 1 é um fator.
Agora, dividimos x^3 - 3x + 2 por x - 1 usando a divisão polinomial ou a regra de Horner:
x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2)
Agora, fatoramos x^2 + x - 2:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
Então, o denominador fatorado é:
x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2 (x + 2)

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos escrever a fração x^2+2(x - 1)^2 (x + 2) como a soma de frações parciais. A forma geral para isso é:
x^2+2(x - 1)^2 (x + 2) = Ax - 1 + B(x - 1)^2 + Cx + 2
Onde A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por (x - 1)^2 (x + 2) para eliminar os denominadores:
x^2 + 2 = A(x - 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x - 1)^2
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito:
A(x^2 + x - 2) + B(x + 2) + C(x^2 - 2x + 1)
Distribuindo:
Ax^2 + Ax - 2A + Bx + 2B + Cx^2 - 2Cx + C
Agrupando os termos semelhantes:
(A + C)x^2 + (A + B - 2C)x + (-2A + 2B + C)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para x^2:
A + C = 1
Para x:
A + B - 2C = 0
Para o termo constante:
-2A + 2B + C = 2
Temos um sistema de três equações:
  1. A + C = 1
  2. A + B - 2C = 0
  3. -2A + 2B + C = 2

Passo 6

Vamos resolver o sistema passo a passo.
Da primeira equação:
A = 1 - C
Substituímos A na segunda equação:
(1 - C) + B - 2C = 0 Rightarrow B - 3C = -1 Rightarrow B = 3C - 1
Agora, substituímos A e B na terceira equação:
-2(1 - C) + 2(3C - 1) + C = 2
-2 + 2C + 6C - 2 + C = 2
9C - 4 = 2 Rightarrow 9C = 6 Rightarrow C = 23
Agora, encontramos A e B:
A = 1 - 23 = 13
B = 3(23) - 1 = 2 - 1 = 1

Passo 7

Agora temos os valores de A, B e C. Vamos substituir de volta na decomposição das frações parciais:
x^2+2(x - 1)^2 (x + 2) = 13x - 1 + 1(x - 1)^2 + 23x + 2
Podemos simplificar:
13cdot1x - 1 + 1(x - 1)^2 + 23cdot1x + 2

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral x^2+2x^3-3x+2 , dx = 13 integral 1x - 1 , dx + integral 1(x - 1)^2 , dx + 23 integral 1x + 2 , dx
Integrando cada um:
  1. 13 integral 1x - 1 , dx = 13 ln|x - 1|
  2. integral 1(x - 1)^2 , dx = -1x - 1
  3. 23 integral 1x + 2 , dx = 23 ln|x + 2|

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
integral x^2+2x^3-3x+2 , dx = 13 ln|x - 1| - 1x - 1 + 23 ln|x + 2| + C
Onde C é a constante de integração.

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