Use o método dos coeficientes a determinar para exprimir a soluçlo geral de cada uma das equaçöes seguintes como uma série de potâneias em torno do ponto
, e especifique o intervalo em que a soluçào è valida.
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente use séries de potências em torno de x=0 para resolver a equação
observando que x=±2 são pontos singulares. Vamos precisar multiplicar tudo por (x^2−4), assumir
Passo 2
Multiplicamos a equação por (x^2−4) para eliminar denominadores:
Esse passo deixa tudo em polinômios e séries de potências.
Passo 3
Escrevemos as séries de y, y’ e y’’:
Passo 4
Substituímos na equação multiplicada e alinhamos potências de x para obter equações para cada n.
Em particular, para n=0 e n=1 surge o termo não homogêneo 1+2x.
Em particular, para n=0 e n=1 surge o termo não homogêneo 1+2x.
Passo 5
Igualando coeficientes em x^0 e x^1 obtemos
de onde
Passo 6
Para n\ge2, como não há termo de forçamento, a recorrência geral é
ou seja
Passo 7
Concluímos que a solução geral em série
vem dos coeficientes a_0,a_1 arbitrários com a_2,a_3 dados acima e a_{n+2} pela recorrência. O raio de convergência é a distância até o ponto singular mais próximo: |x|<2.
Resposta
A solução em série
tem coeficientes dados por
e é válida para |x|<2.