Use o método dos coeficientes a determinar para exprimir a soluçlo geral de cada uma das equaçöes seguintes como uma série de potâneias em torno do ponto x=0, e especifique o intervalo em que a soluçào è valida.
y^prime prime+xx^2-4 y^prime-25 yx^2-4=1+2 xx^2-4.

Passo 1

O enunciado pede que a gente use séries de potências em torno de x=0 para resolver a equação
y''+xx^2-4,y'-25x^2-4,y=1+2xx^2-4,
observando que x=±2 são pontos singulares. Vamos precisar multiplicar tudo por (x^2−4), assumir
y=sumn=0^infty anx^n e comparar coeficientes para achar a relação de recorrência.

Passo 2

Multiplicamos a equação por (x^2−4) para eliminar denominadores:
(x^2-4)y''+x y'-25y=1+2x
Esse passo deixa tudo em polinômios e séries de potências.

Passo 3

Escrevemos as séries de y, y’ e y’’:
y=sumn=0^infty anx^n,
y'=sumn=0^infty(n+1)an+1x^n,
y''=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n

Passo 4

Substituímos na equação multiplicada e alinhamos potências de x para obter equações para cada n.
Em particular, para n=0 e n=1 surge o termo não homogêneo 1+2x.

Passo 5

Igualando coeficientes em x^0 e x^1 obtemos
8a2+25a0=-1,
24a3+24a1=-2,
de onde
a2=-1+25a08,
a3=-1+12a112

Passo 6

Para n\ge2, como não há termo de forçamento, a recorrência geral é
(n^2-25)an-4(n+2)(n+1)an+2=0
ou seja
an+2=n^2-254(n+2)(n+1),an(n>=2)

Passo 7

Concluímos que a solução geral em série
y(x)=sumn=0^infty anx^n
vem dos coeficientes a_0,a_1 arbitrários com a_2,a_3 dados acima e a_{n+2} pela recorrência. O raio de convergência é a distância até o ponto singular mais próximo: |x|<2.

Resposta

A solução em série y(x)=sumn=0^infty anx^n tem coeficientes dados por
a2=-1+25a08, a3=-1+12a112,
an+2=n^2-254(n+2)(n+1),an(n>=2),
e é válida para |x|<2.

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