Use o método dos coeficientes a determinar para exprimir a soluçlo geral de cada uma das equaçöes seguintes como uma série de potâneias em torno do ponto x=0, e especifique o intervalo em que a soluçào è valida.
(x^2-1) y^prime prime+x y^prime-4 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método dos coeficientes indeterminados (séries de potências) na equação
(x^2 - 1),y'' + x,y' - 4,y = 0
em torno de x=0. Precisaremos supor
y(x) = sumn=0^infty an,x^n,
calcular y' e y'', inserir na EDO, obter uma relação de recorrência para os an e então extrair duas soluções linearmente independentes (uma de paridade par e outra de paridade ímpar). Por fim, determinamos o raio de convergência (intervalo de validade).

Passo 2

Assumimos
y(x)=sumn=0^infty an x^n, y'(x)=sumn=1^infty n,an x^n-1, y''(x)=sumn=2^infty n(n-1),an x^n-2
Então
x^2y''=sumn=2^infty n(n-1),an x^n, -,y''=,-sumn=2^infty n(n-1),an x^n-2, x,y'=sumn=1^infty n,an x^n, -4y=-4sumn=0^infty an x^n

Passo 3

Reescrevendo todas as somas com a mesma potência x^n (no termo em x^n-2 fazemos nto n+2) obtemos
sumn=0^inftyl[n(n-1)+n-4r]an x^n ;-;sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,x^n ;=;0
Logo, para todo n>=0, a condição de anulação dos coeficientes em x^n é
(n^2-4),an ;-;(n+2)(n+1),an+2=0 Longrightarrow an+2=n^2-4(n+2)(n+1),an

Passo 4

As equações de recorrência separam em dois ramos:
Par ( n=2k):
a2k+2 =(2k)^2-4(2k+2)(2k+1),a2k =2(k-1)2k+1,a2k
Em particular,
a2=0^2-42cdot1a0=-2a0 e
a4=2(0)3a2=0,
de onde todos os a2k com k>=2 são nulos. Assim surge a solução polinomial
y1(x)=a0l(1-2x^2r)

Passo 5

Ímpar ( n=2k+1):
a2k+3 =(2k+1)^2-4(2k+3)(2k+2),a2k+1
Tomando a1 livre, calculamos alguns termos:
a3=-tfrac12,a1, a5=-tfrac18,a1, a7=-tfrac116,a1, a9=-tfrac5128,a1,;dots
Logo a segunda solução é a série ímpar
y2(x) =a1l(x-tfrac12x^3-tfrac18x^5-tfrac116x^7-cdotsr)

Passo 6

A solução geral é combinações lineares das duas séries:
y(x)=C1l(1-2x^2r) ;+; C2l(x-tfrac12x^3-tfrac18x^5-tfrac116x^7-cdotsr)
Como a EDO tem singularidades em x=pm1, o raio de convergência da série em torno de 0 é 1, isto é, vale para |x|<1.

Resposta

y(x)=C1l(1-2x^2r) ;+; C2l(x-tfrac12x^3-tfrac18x^5-tfrac116x^7-cdotsr), |x|<1

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