Use o método dos coeficientes a determinar para exprimir a soluçlo geral de cada uma das equaçöes seguintes como uma série de potâneias em torno do ponto
, e especifique o intervalo em que a soluçào è valida.
.
Passo 1
O enunciado pede para usar o método dos coeficientes indeterminados (séries de potências) na equação
em torno de
. Precisaremos supor
calcular
e
, inserir na EDO, obter uma relação de recorrência para os
e então extrair duas soluções linearmente independentes (uma de paridade par e outra de paridade ímpar). Por fim, determinamos o raio de convergência (intervalo de validade).
Passo 2
Assumimos
Então
Passo 3
Reescrevendo todas as somas com a mesma potência
(no termo em
fazemos
) obtemos
Logo, para todo
, a condição de anulação dos coeficientes em
é
Passo 4
As equações de recorrência separam em dois ramos:
Par (
):
Em particular,
e
,
de onde todos os com
são nulos. Assim surge a solução polinomial
de onde todos os
Passo 5
Ímpar (
):
Tomando
livre, calculamos alguns termos:
Logo a segunda solução é a série ímpar
Passo 6
A solução geral é combinações lineares das duas séries:
Como a EDO tem singularidades em
, o raio de convergência da série em torno de
é
, isto é, vale para
.