Use o método dos coeficientes a determinar para exprimir a soluçlo geral de cada uma das equaçöes seguintes como uma série de potâneias em torno do ponto , e especifique o intervalo em que a soluçào è valida. .
Passo 1
O enunciado pede que a gente ache a solução geral da equação
como série de potências em torno de , e depois determine o intervalo de validade dessa série. Como a equação é linear e é ponto ordinário (já que em ), podemos assumir
e derivar uma relação de recorrência entre os coeficientes . O raio de convergência máximo será até o singular mais próximo de , que ocorre em .
Passo 2
Assumimos
Então
Agrupando tudo em potências de
Como se e caso contrário.
Passo 3
Primeiro obtemos a solução homogênea (). Para temos
Dessa forma separamos em par e ímpar:
. Série par (, ):
para ,
Logo
. Série ímpar (, ):
para ,
Logo
Essas duas séries formam a base da solução homogênea:
Passo 4
Para a solução particular escolhemos . Da recorrência:
!: .
!: .
!:
A partir de geramos os pares superiores pela parte homogênea:
Todos os coeficientes ímpares são zero. Logo a parte particular é
Passo 5
Somando homogênea e particular, a solução geral fica
O raio de convergência é até o singular mais próximo de 0, que está em x=pmraiz2. Portanto a série é válida para