Use o método dos coeficientes a determinar para exprimir a soluçlo geral de cada uma das equaçöes seguintes como uma série de potâneias em torno do ponto x=0, e especifique o intervalo em que a soluçào è valida.
(x^2-2) y^prime prime+x y^prime-y=x^2.

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache a solução geral da equação
l(x^2-2r),y''+x,y'-y=x^2
como série de potências em torno de x=0, e depois determine o intervalo de validade dessa série. Como a equação é linear e x=0 é ponto ordinário (já que x^2-2neq0 em x=0), podemos assumir
y=sumn=0^inftyanx^n,
e derivar uma relação de recorrência entre os coeficientes an. O raio de convergência máximo será até o singular mais próximo de 0, que ocorre em x=pmraiz2.

Passo 2

Assumimos
Então
Agrupando tudo em potências de
Como se e caso contrário.

Passo 3

Primeiro obtemos a solução homogênea ( de<ak,2=0). Para kto k+2 temos
ak+2^(h) =k^2-12(k+2)(k+1),ak^(h)
Dessa forma separamos em par e ímpar:
1. Série par ( a0neq0, a1=0):
para k=2m,
a2(m+1)^(h) =(2m)^2-12(2m+2)(2m+1),a2m^(h) =2m-14(m+1),a2m^(h)
Logo
y1(x) =summ=0^inftya2m,x^2m, a0 livre, a2=-tfraca04,;ldots
2. Série ímpar ( a1neq0, a0=0):
para k=2m+1,
a2m+3^(h) =(2m+1)^2-12(2m+3)(2m+2),a2m+1^(h) =m2m+3,a2m+1^(h)
Logo
y2(x) =summ=0^inftyb2m+1,x^2m+1, b1 livre, b3=0,;ldots
Essas duas séries formam a base da solução homogênea:
yh(x)=C1,y1(x)+C2,y2(x)

Passo 4

Para a solução particular escolhemos a0=a1=0. Da recorrência:
  • k=0!: -(1),a0-4,a2=0 implies a2=0.
  • k=1!: (1^2-1)a1-12,a3=0 implies a3=0.
  • k=2!: (4-1)a2-24,a4=1 implies a4=-tfrac124
A partir de a4 geramos os pares superiores pela parte homogênea:
a6 =2cdot1-14cdot3,a4 =112l(-tfrac124r) =-tfrac1288, a8 =2cdot2-14cdot4,a6 =316l(-tfrac1288r) =-tfrac11536, ;dots
Todos os coeficientes ímpares são zero. Logo a parte particular é
yp(x) =-124,x^4 -1288,x^6 -11536,x^8 -cdots

Passo 5

Somando homogênea e particular, a solução geral fica
y(x) =C1,y1(x)+C2,y2(x) +underbracel(-tfrac124x^4-tfrac1288x^6-cdotsr)yp(x)
O raio de convergência é até o singular mais próximo de 0, que está em x=pmraiz2. Portanto a série é válida para
|x|<raiz2

Resposta

y(x) =C1summ=0^inftya2m,x^2m +C2summ=0^inftyb2m+1,x^2m+1 -124,x^4 -1288,x^6 -cdots,
com a0,b1 constantes arbitrárias e as recorrências
a2(m+1)=2m-14(m+1),a2m, b2m+3=m2m+3,b2m+1,
e a parte particular em potências pares a partir de x^4 dada acima. O intervalo de validade é |x|<raiz2.

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