Calcule as seguintes integrais por frações parciais:
integral 3 t-2t+1 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 3t - 2t + 1,dt,
usando frações parciais. Como o grau do numerador é igual ao grau do denominador, primeiro vamos fazer uma divisão de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Fazendo a divisão de 3t - 2 por t + 1, procuramos números Q e A tais que
3t - 2 = Q,(t+1) + A
Como Q deve ser um polinômio de grau zero, tomamos Q=3 e obtemos
3t - 2 = 3,(t+1) + A = 3t + 3 + A
Logo, comparando termos constantes, 3 + A = -2, ou seja, A = -5. Assim,
3t - 2t + 1 = 3 - 5t+1

Passo 3

Reescrevendo a integral com essa decomposição, temos
integral 3t - 2t + 1,dt = integral l(3 - 5t+1r),dt = integral 3,dt ;-; 5 integral 1t+1,dt
Agora integramos cada termo separadamente.

Passo 4

Sabemos que
integral 3,dt = 3t e integral 1t+1,dt = lnl|t+1r|
Portanto,
integral 3t - 2t + 1,dt = 3t ;-; 5,lnl|t+1r| + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

integral 3t - 2t + 1,dt = 3t - 5,lnl|t+1r| + C

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