Calcule as seguintes integrais por frações parciais:
integral x^3+4x^2+4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^3+4x^2+4,dx
usando frações parciais (ou, aqui, divisão de polinômios seguida de integrais elementares). Precisaremos dividir o numerador pelo denominador e depois usar integrais padrão de x, de xx^2+a^2 e de 1x^2+a^2.

Passo 2

Fazemos a divisão de polinômios:
x^3+4x^2+4 = x ;+;underbracex^3+4 - x,(x^2+4)=-4x+4x^2+4 = x ;+;-4x+4x^2+4

Passo 3

Isso nos dá
integral x^3+4x^2+4,dx = integral x,dx ;+;integral -4xx^2+4,dx ;+;integral 4x^2+4,dx

Passo 4

Calculamos cada termo:
  1. integral x,dx = x^22
  2. Para integral -4xx^2+4,dx, use u = x^2+4, du = 2x,dx. Então
integral -4xx^2+4,dx = -2 integral 2x,dxx^2+4 = -2 integral duu = -2 lnl|ur| = -2 lnl(x^2+4r)

Passo 5

  1. Para integral 4x^2+4,dx, note que 4 = 2^2 e usamos
    integral dxx^2+a^2 = 1aarctanl(tfracxar).
    Aqui a=2, logo
integral 4x^2+4,dx = 4cdot12arctan!l(x2r) = 2,arctan!l(x2r)

Resposta

Juntando tudo, obtemos
integral x^3+4x^2+4,dx = x^22 -2 lnl(x^2+4r) +2,arctan!l(x2r) + C

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