Calcule as seguintes integrais pela regra da substituição trigonométrica:
integral xraizx^2+x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral xraizx^2+x+1,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo envolve integrar funções com radicais de segundo grau, aplicando completar quadrado e as fórmulas
integral traizt^2+a^2,dt e
integral dtraizt^2+a^2.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado no radicando:
x^2+x+1 = l(x+tfrac12r)^2 + tfrac34
Fazemos a troca
t = x + tfrac12, x = t - tfrac12, dx = dt, a = tfracraiz32

Passo 3

Substituindo em integral xraizx^2+x+1,dx obtém-se
integral t-tfrac12raizt^2+a^2,dt = integral traizt^2+a^2,dt - 12 integral 1raizt^2+a^2,dt

Passo 4

Usando as fórmulas conhecidas:
integral traizt^2+a^2,dt = raizt^2+a^2, integral dtraizt^2+a^2 = lnl|t + raizt^2+a^2r|,
a integral vira
raizt^2+a^2 ;-;12 lnl|t + raizt^2+a^2r| ;+;C

Passo 5

Revertendo t = x + tfrac12 e t^2+a^2 = x^2+x+1, temos
raizt^2+a^2 = raizx^2+x+1, t + raizt^2+a^2 = x + tfrac12 + raizx^2+x+1

Resposta

boxed raizx^2+x+1 ;-;12,ln!l|,x+tfrac12+raizx^2+x+1r| ;+;C

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