Calcule as seguintes integrais por frações parciais:
integral x^4x-1 d x

Passo 1

No exercício, queremos calcular a integral de uma função racional por frações parciais. O conteúdo principal aqui é integração de funções racionais impróprias, usando divisão polinomial para decompor em termos que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Como o grau do numerador (4) é maior que o do denominador (1), aplicamos divisão polinomial para reescrever x^4/(x-1). A ideia é dividir x^4 por x-1 passo a passo, reduzindo o grau a cada passo.

Passo 3

Ao fazer a divisão, encontramos o quociente e o resto. O resultado final é:
x^4x-1=x^3+x^2+x+1+1x-1
Agora temos uma soma de polinômios e uma fração própria.

Passo 4

O próximo passo é integrar termo a termo. Usamos
integral x^n,dx=tfracx^n+1n+1+C
e
integral1x-1,dx=ln|x-1|+C
Fazendo isso, obtemos a primitiva completa da função.

Resposta

integral x^4x-1,dx = x^44+x^33+x^22+x+lnlvert x-1rvert + C

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