Calcule as seguintes integrais por frações parciais:
integral y(y+4)(2 y-1) d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral y(y+4)(2y-1) , dy
O conteúdo aqui é frações parciais: vamos decompor o integrando em termos simples que a gente sabe integrar direto.

Passo 2

Assumimos a decomposição
y(y+4)(2y-1) ;=; Ay+4 ;+; B2y-1
Multiplicando ambos os lados por (y+4)(2y-1), obtemos a identidade
y = A,(2y-1) + B,(y+4)

Passo 3

Expandindo o lado direito dá
Comparando coeficientes de
Da segunda equação vem (A=4B]. Substituindo na primeira:

Passo 4

Com esses valores, a integral vira
integral 4/9y+4,dy ;+;integral 1/92y-1,dy
Integramos cada parcela:
integral 4/9y+4,dy = 49ln|y+4|,
integral 1/92y-1,dy = 19cdot12ln|2y-1| = 118ln|2y-1|

Passo 5

Somando e incluindo a constante C, o resultado final é
integral y(y+4)(2y-1),dy = 49ln|y+4| ;+;118ln|2y-1| + C

Resposta

49ln|y+4| + 118ln|2y-1| + C

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