Calcule as seguintes integrais: (Por partes) integral x^3 sen(2 x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^3 sin(2 x^2) dx usando a técnica de integração por partes. A matéria aqui envolve cálculo de integrais, especificamente a integração por partes, que é uma forma de simplificar integrais de produtos de funções. Para isso, vamos identificar partes da nossa integral que correspondem às fórmulas da integração por partes.

Passo 2

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. Vamos escolher u = x^3 porque sua derivada fica mais simples, e dv = sin(2x^2) dx.

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
u = x^3 Rightarrow du = 3x^2 dx
Para encontrar v, precisamos integrar dv = sin(2x^2) dx. Essa integral não é direta, então podemos usar uma substituição.

Passo 4

Vamos fazer a substituição w = 2x^2, então dw = 4x dx, o que significa que dx = dw4x. Substituindo na integral de v:
v = integral sin(w) cdot dw4x
Mas percebe que ainda temos um x na expressão, então precisamos ajustar nossa substituição. Na verdade, a integral de sin(2x^2) dx envolve a função de erro, mas para simplificar, vamos reconhecer que a integração por partes pode não ser a melhor abordagem aqui.

Passo 5

Reavaliando, vamos tentar uma substituição diferente. Observe que o argumento de seno é 2x^2, então vamos escolher w = x^2. Então:
dw = 2x dx Rightarrow x dx = dw2
Agora, reescrevemos a integral:
integral x^3 sin(2x^2) dx = integral x^2 cdot x sin(2x^2) dx = integral x^2 sin(2w) cdot dw2
Mas isso ainda está complicado, então vamos voltar à integração por partes e confiar no processo.

Passo 6

Voltando à integração por partes:
integral x^3 sin(2x^2) dx = u v - integral v , du
Como v é difícil de integrar diretamente, vamos reconsiderar nossa escolha de u e dv. Em vez disso, vamos escolher u = x^2 e dv = x sin(2x^2) dx.

Passo 7

Calculando du e v com essa nova escolha:
u = x^2 Rightarrow du = 2x dx
dv = x sin(2x^2) dx Rightarrow v = -14 cos(2x^2)
Isso porque integral x sin(2x^2) dx = -14 cos(2x^2) usando substituição.

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x^3 sin(2x^2) dx = u v - integral v , du = x^2 ( -14 cos(2x^2) ) - integral ( -14 cos(2x^2) ) 2x dx
Simplificando:
= -14 x^2 cos(2x^2) + 12 integral cos(2x^2) x dx

Passo 9

Agora, a integral integral x cos(2x^2) dx pode ser resolvida usando substituição:
w = 2x^2 Rightarrow dw = 4x dx Rightarrow x dx = dw4
Então:
integral x cos(2x^2) dx = 14 integral cos(w) dw = 14 sin(w) + C = 14 sin(2x^2) + C

Passo 10

Voltando à expressão anterior:
-14 x^2 cos(2x^2) + 12 cdot 14 sin(2x^2) + C = -14 x^2 cos(2x^2) + 18 sin(2x^2) + C

Resposta

Então, a integral de x^3 sin(2x^2) dx é:
-14 x^2 cos(2x^2) + 18 sin(2x^2) + C

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