Calcule as seguintes integrais: (Por partes)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando a técnica de integração por partes. A matéria aqui envolve cálculo de integrais, especificamente a integração por partes, que é uma forma de simplificar integrais de produtos de funções. Para isso, vamos identificar partes da nossa integral que correspondem às fórmulas da integração por partes.
Passo 2
A fórmula da integração por partes é:
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Vamos escolher
porque sua derivada fica mais simples, e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
Para encontrar
, precisamos integrar
. Essa integral não é direta, então podemos usar uma substituição.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
, então
, o que significa que
. Substituindo na integral de
:
Mas percebe que ainda temos um
na expressão, então precisamos ajustar nossa substituição. Na verdade, a integral de
envolve a função de erro, mas para simplificar, vamos reconhecer que a integração por partes pode não ser a melhor abordagem aqui.
Passo 5
Reavaliando, vamos tentar uma substituição diferente. Observe que o argumento de seno é
, então vamos escolher
. Então:
Agora, reescrevemos a integral:
Mas isso ainda está complicado, então vamos voltar à integração por partes e confiar no processo.
Passo 6
Voltando à integração por partes:
Como
é difícil de integrar diretamente, vamos reconsiderar nossa escolha de
e
. Em vez disso, vamos escolher
e
.
Passo 7
Calculando
e
com essa nova escolha:
Isso porque
usando substituição.
Passo 8
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 9
Agora, a integral
pode ser resolvida usando substituição:
Então:
Passo 10
Voltando à expressão anterior:
Resposta
Então, a integral de
é: