Calcule as seguintes integrais pela regra da substituição trigonométrica:
integral 1(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral1(x^2+1)^2,dx usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é integrar potências de x^2+1 recorrendo à identidade pitagórica associada à tangente e à secante. Para resolver, vamos precisar usar a substituição x=tantheta, saber que 1+tan^2theta=sec^2theta e como expressar dx em função de dtheta.

Passo 2

Fazendo a troca x=tantheta temos dx=sec^2theta,dtheta e
(x^2+1)^2=(1+tan^2theta)^2=sec^4theta

Passo 3

Substituindo tudo na integral original:
integral1(x^2+1)^2,dx =integral1sec^4theta,l(sec^2theta,dthetar) =integralcos^2theta,dtheta

Passo 4

Agora usamos a identidade de ângulo duplo cos^2theta=tfrac1+cos2theta2 para integrar facilmente:
integralcos^2theta,dtheta =integral1+cos2theta2,dtheta =12integral dtheta+12integralcos2theta,dtheta =theta2+sin2theta4+C

Passo 5

Só falta voltar para a variável x. Como theta=arctan x, temos sintheta=tfracxraizx^2+1 e costheta=tfrac1raizx^2+1, logo
sin2theta=2sinthetacostheta=2xraizx^2+11raizx^2+1=2xx^2+1

Passo 6

Substituindo em tfractheta2+tfracsin2theta4
theta2+sin2theta4 =12arctan x+14cdot2xx^2+1 =12arctan x+x2(x^2+1)+C

Resposta

12arctan x+x2(x^2+1)+C

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