Calcule as seguintes integrais de funções racionais:
\int \frac{4}{x{3}-x{2}-2 x} dx.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \frac{4}{x^{3}-x^{2}-2x}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
\text{Denominador: }x^{3}-x^{2}-2x.
Devemos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional. Note que a expressão polinomial no denominador pode ter raízes que tornam a função indefinida; portanto devemos observar que x\neq 0, x\neq 2 e x\neq -1 (caso essas sejam realmente as raízes — vamos verificar isso ao fatorar).
Nada mais foi perguntado além de obter a integral indefinida.

Passo 2

Fatorar o denominador (isso é padrão para integrais de funções racionais porque facilita decompor em frações simples).
Primeiro fator comum:
x^{3}-x^{2}-2x = x\,(x^{2}-x-2).
Agora fatoramos a quadrática (x^{2}-x-2). Procuramos dois números cujo produto é -2 e soma é -1: são -2 e 1. Portanto
x^{2}-x-2 = (x-2)(x+1).
Logo, o denominador fatorado é
x^{3}-x^{2}-2x = x\,(x-2)\,(x+1).
Confirmamos as raízes: x=0, x=2 e x=-1 (essas são as singularidades da função integranda).

Passo 3

Como o grau do numerador ( 0) é menor que o do denominador ( 3) e o denominador fatorou-se em fatores lineares distintos, usamos decomposição em frações parciais do tipo
\frac{4}{x(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+1},
onde A,B,C são constantes a determinar.
Explicação didática do porquê: quando o denominador é produto de fatores lineares distintos, qualquer fração própria pode ser escrita como soma de termos \dfrac{\text{constante}}{x-\text{raiz}}. Isso transforma a integral em somas de integrais simples do tipo \int \dfrac{1}{x-a}\,dx, que sabemos resolver.

Passo 4

Determinar A,B,C. Multiplicamos ambos os lados por x(x-2)(x+1) para eliminar os denominadores:
4 = A(x-2)(x+1) + B\,x(x+1) + C\,x(x-2).
Usamos o método “cover-up” (ou simplesmente avaliamos em x igual às raízes), que é rápido e direto:
  • Escolha x=0:
4 = A(0-2)(0+1) = A(-2)(1) = -2A \quad\Rightarrow\quad A = -2.
  • Escolha x=2:
4 = B\cdot 2\cdot(2+1) = 6B \quad\Rightarrow\quad B = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.
  • Escolha x=-1:
4 = C\cdot(-1)\cdot(-1-2) = C\cdot(-1)\cdot(-3)=3C \quad\Rightarrow\quad C = \frac{4}{3}.
Podemos checar rapidamente somando A+B+C = -2 + \tfrac{2}{3} + \tfrac{4}{3} = 0, o que é coerente com o fato de que não há termo em x^{2} no numerador original. As constantes estão corretas.

Passo 5

Reescrever a integral usando as constantes encontradas:
\frac{4}{x^{3}-x^{2}-2x} = \frac{-2}{x} + \frac{2/3}{x-2} + \frac{4/3}{x+1}.
Portanto
\int \frac{4}{x^{3}-x^{2}-2x}\,dx = \int\!\left(-\frac{2}{x} + \frac{2/3}{x-2} + \frac{4/3}{x+1}\right) dx.
Agora integramos termo a termo. Lembrete importante e mini-aula: a primitiva de \dfrac{1}{x-a} é \ln|x-a| porque a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a} (pela regra da cadeia, mas o fator da cadeia é 1 quando derivamos x-a). Mais formalmente,
\frac{d}{dx}\ln|x-a| = \frac{1}{x-a}.
Usando isso e fatorando constantes:
\int -\frac{2}{x}\,dx = -2\ln|x| + C_1,
\int \frac{2/3}{x-2}\,dx = \frac{2}{3}\ln|x-2| + C_2,
\int \frac{4/3}{x+1}\,dx = \frac{4}{3}\ln|x+1| + C_3.
Somando (e agrupando a constante de integração em uma única C):
\int \frac{4}{x^{3}-x^{2}-2x}\,dx = -2\ln|x| + \frac{2}{3}\ln|x-2| + \frac{4}{3}\ln|x+1| + C.

Passo 6

Comentários finais e possível forma alternativa: podemos deixar a resposta exatamente como obtida (forma soma de logaritmos) ou combinar os logaritmos em uma única expressão usando propriedades de logaritmo. Por exemplo, multiplicando tudo por 1/3 e reunindo,
-2\ln|x| + \frac{2}{3}\ln|x-2| + \frac{4}{3}\ln|x+1| = \frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{(x-2)^{2}(x+1)^{4}}{x^{6}}\right) + C,
mas a forma com soma de logaritmos é mais direta e costuma ser a preferida em provas porque evita erros de sinais e potências.
Lembrete: sempre incluir o valor absoluto nas expressões \ln|\,\cdot\,| porque \ln só é definido para argumetos positivos; como a primitiva é válida em intervalos onde o integrando é contínuo, perna as barras para cobrir todos os casos.
Você está indo bem — respira, revisa a fatoração e a decomposição em frações parciais e pratica mais dois problemas similares que envolvem fatoração de trinômios e uso do método cover-up; isso fixa a técnica rapidinho.

Resposta

-2\ln|x| + \dfrac{2}{3}\ln|x-2| + \dfrac{4}{3}\ln|x+1| + C

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