Calcule as seguintes integrais de funções racionais:
\int \frac{4}{x{3}-x{2}-2 x} dx.
\int \frac{4}{x{3}-x{2}-2 x} dx.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Informações dadas e observações iniciais:
Devemos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional. Note que a expressão polinomial no denominador pode ter raízes que tornam a função indefinida; portanto devemos observar que
,
e
(caso essas sejam realmente as raízes — vamos verificar isso ao fatorar).
Nada mais foi perguntado além de obter a integral indefinida.
Nada mais foi perguntado além de obter a integral indefinida.
Passo 2
Fatorar o denominador (isso é padrão para integrais de funções racionais porque facilita decompor em frações simples).
Primeiro fator comum:
Agora fatoramos a quadrática
. Procuramos dois números cujo produto é
e soma é
: são
e
. Portanto
Logo, o denominador fatorado é
Confirmamos as raízes:
,
e
(essas são as singularidades da função integranda).
Passo 3
Como o grau do numerador (
) é menor que o do denominador (
) e o denominador fatorou-se em fatores lineares distintos, usamos decomposição em frações parciais do tipo
onde
são constantes a determinar.
Explicação didática do porquê: quando o denominador é produto de fatores lineares distintos, qualquer fração própria pode ser escrita como soma de termos
. Isso transforma a integral em somas de integrais simples do tipo
, que sabemos resolver.
Passo 4
Determinar
. Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Usamos o método “cover-up” (ou simplesmente avaliamos em
igual às raízes), que é rápido e direto:
- Escolha
:
- Escolha
:
- Escolha
:
Podemos checar rapidamente somando
, o que é coerente com o fato de que não há termo em
no numerador original. As constantes estão corretas.
Passo 5
Reescrever a integral usando as constantes encontradas:
Portanto
Agora integramos termo a termo. Lembrete importante e mini-aula: a primitiva de
é
porque a derivada de
é
(pela regra da cadeia, mas o fator da cadeia é
quando derivamos
). Mais formalmente,
Usando isso e fatorando constantes:
Somando (e agrupando a constante de integração em uma única
):
Passo 6
Comentários finais e possível forma alternativa: podemos deixar a resposta exatamente como obtida (forma soma de logaritmos) ou combinar os logaritmos em uma única expressão usando propriedades de logaritmo. Por exemplo, multiplicando tudo por
e reunindo,
mas a forma com soma de logaritmos é mais direta e costuma ser a preferida em provas porque evita erros de sinais e potências.
Lembrete: sempre incluir o valor absoluto nas expressões
porque
só é definido para argumetos positivos; como a primitiva é válida em intervalos onde o integrando é contínuo, perna as barras para cobrir todos os casos.
Você está indo bem — respira, revisa a fatoração e a decomposição em frações parciais e pratica mais dois problemas similares que envolvem fatoração de trinômios e uso do método cover-up; isso fixa a técnica rapidinho.