Calcule as seguintes integrais de funções racionais:
\int \frac{x+1}{x(x-2)(x+3)} dx.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x+1}{x(x-2)(x+3)}\,dx.
Informações dadas que são relevantes:
\text{denominador} = x(x-2)(x+3),
\text{numerador} = x+1,
e o grau do numerador ( 1) é menor que o grau do denominador ( 3). A integral é indefinida (precisa de constante de integração).

Passo 2

Como o numerador tem grau menor que o denominador e o denominador está fatorado em fatores lineares distintos x, x-2, x+3, vamos decompor a função racional em frações parciais. A ideia é escrever a função como soma de termos mais simples cuja integral é conhecida. Isto facilita muito na hora da prova porque integrais de razões simples viram logaritmos.

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais na forma
\frac{x+1}{x(x-2)(x+3)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+3},
onde A, B e C são constantes a determinar. Essa forma é a padrão quando o denominador é produto de fatores lineares distintos: cada fator gera um termo \dfrac{\text{constante}}{\text{fator}}.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x(x-2)(x+3) para eliminar os denominadores e obter uma igualdade polinomial:
x+1 = A(x-2)(x+3) + Bx(x+3) + Cx(x-2).

Passo 5

Determinamos A, B e C escolhendo valores convenientes de x (método rápido: zera-se cada fator).
  • Para x=0:
0+1 = A(0-2)(0+3) \quad\Rightarrow\quad 1 = A(-6) \quad\Rightarrow\quad A = -\frac{1}{6}.
  • Para x=2:
2+1 = B\cdot 2(2+3) \quad\Rightarrow\quad 3 = B\cdot 10 \quad\Rightarrow\quad B = \frac{3}{10}.
  • Para x=-3:
-3+1 = C\cdot (-3)(-3-2) \quad\Rightarrow\quad -2 = C\cdot 15 \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{2}{15}.
Portanto
A=-\frac{1}{6},\qquad B=\frac{3}{10},\qquad C=-\frac{2}{15}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): somando A+B+C obtemos o coeficiente de x^2 que deve ser zero (pois o lado esquerdo x+1 não tem termo em x^2):
-\frac{1}{6}+\frac{3}{10}-\frac{2}{15}=0,
e os demais coeficientes também conferem. Assim a decomposição está correta.

Passo 7

Reescrevemos a integral usando as constantes encontradas:
\int \frac{x+1}{x(x-2)(x+3)}\,dx = \int\left(-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x}+\frac{3}{10}\cdot\frac{1}{x-2}-\frac{2}{15}\cdot\frac{1}{x+3}\right)dx.
Agora usamos a fórmula básica de integração:
\int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + \text{constante},
essa fórmula vem da derivada \dfrac{d}{dx}\ln|x-a|=\dfrac{1}{x-a}. Aplicando termo a termo:
\int -\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x}\,dx = -\frac{1}{6}\ln|x|,
\int \frac{3}{10}\cdot\frac{1}{x-2}\,dx = \frac{3}{10}\ln|x-2|,
\int -\frac{2}{15}\cdot\frac{1}{x+3}\,dx = -\frac{2}{15}\ln|x+3|.

Passo 8

Somando as primitivas dos termos obtemos a antiderivada geral:
-\frac{1}{6}\ln|x|+\frac{3}{10}\ln|x-2|-\frac{2}{15}\ln|x+3|+K,
onde K é a constante de integração. Parabéns — a integral foi reduzida a uma combinação de logaritmos, que é o resultado típico nesse tipo de exercício.

Resposta

-\dfrac{1}{6}\ln|x|+\dfrac{3}{10}\ln|x-2|-\dfrac{2}{15}\ln|x+3|+K

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