Calcule as seguintes integrais de funções racionais:
\int \frac{x+1}{x(x-2)(x+3)} dx.
\int \frac{x+1}{x(x-2)(x+3)} dx.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas que são relevantes:
e o grau do numerador (
) é menor que o grau do denominador (
). A integral é indefinida (precisa de constante de integração).
Passo 2
Como o numerador tem grau menor que o denominador e o denominador está fatorado em fatores lineares distintos
,
,
, vamos decompor a função racional em frações parciais. A ideia é escrever a função como soma de termos mais simples cuja integral é conhecida. Isto facilita muito na hora da prova porque integrais de razões simples viram logaritmos.
Passo 3
Escrevemos a decomposição em frações parciais na forma
onde
,
e
são constantes a determinar. Essa forma é a padrão quando o denominador é produto de fatores lineares distintos: cada fator gera um termo
.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores e obter uma igualdade polinomial:
Passo 5
Determinamos
,
e
escolhendo valores convenientes de
(método rápido: zera-se cada fator).
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): somando
obtemos o coeficiente de
que deve ser zero (pois o lado esquerdo
não tem termo em
):
e os demais coeficientes também conferem. Assim a decomposição está correta.
Passo 7
Reescrevemos a integral usando as constantes encontradas:
Agora usamos a fórmula básica de integração:
essa fórmula vem da derivada
. Aplicando termo a termo:
Passo 8
Somando as primitivas dos termos obtemos a antiderivada geral:
onde
é a constante de integração. Parabéns — a integral foi reduzida a uma combinação de logaritmos, que é o resultado típico nesse tipo de exercício.