Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Integrais a avaliar entre os limites
e . - A função integrada é o polinômio
. - Não há outras condições ou restrições no enunciado.
Passo 2
Qual técnica vamos usar? Aqui a função é um polinômio. Para polinômios usamos a regra da linearidade da integral e a regra da potência para antiderivadas. Vou ensinar essas duas ideias de forma bem calma.
Regra da linearidade:
onde
e
são constantes e
são funções. Isso significa que podemos integrar termo a termo e puxar constantes para fora da integral.
Regra da potência (antiderivada):
Aqui
é o expoente de
,
é a constante de integração. A fórmula nos diz como obter uma função cuja derivada volta a ser
.
Exemplo rápido para fixar:
.
Passo 3
Aplicando a linearidade e a regra da potência ao integrando
:
Primeiro, escrevemos a integral termo a termo:
Puxando as constantes para fora:
Agora usamos a regra da potência para cada termo. Uma antiderivada comum (uma primitiva) para
é
e para
é
. Multiplicando pelas constantes:
Portanto uma primitiva
do integrando é
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é
.
Calcule
:
Calcule
:
Subtraindo:
Passo 5
Verificação rápida (para ganhar confiança): derive
. Temos
, que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta e o cálculo da integral definida está consistente.