Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
\int_{1}^{2}\left(8 x^{3}+3 x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\left(8x^{3}+3x^{2}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • Integrais a avaliar entre os limites x=1 e x=2.
  • A função integrada é o polinômio 8x^{3}+3x^{2}.
  • Não há outras condições ou restrições no enunciado.

Passo 2

Qual técnica vamos usar? Aqui a função é um polinômio. Para polinômios usamos a regra da linearidade da integral e a regra da potência para antiderivadas. Vou ensinar essas duas ideias de forma bem calma.
Regra da linearidade:
\int \big(a\cdot f(x) + b\cdot g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx,
onde a e b são constantes e f,g são funções. Isso significa que podemos integrar termo a termo e puxar constantes para fora da integral.
Regra da potência (antiderivada):
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq -1.
Aqui n é o expoente de x, C é a constante de integração. A fórmula nos diz como obter uma função cuja derivada volta a ser x^n.
Exemplo rápido para fixar: \int 4x^{3}\,dx = 4\int x^{3}\,dx = 4\cdot\frac{x^{4}}{4} = x^{4}+C.

Passo 3

Aplicando a linearidade e a regra da potência ao integrando 8x^{3}+3x^{2}:
Primeiro, escrevemos a integral termo a termo:
\int_{1}^{2}\left(8x^{3}+3x^{2}\right)\,dx = \int_{1}^{2}8x^{3}\,dx + \int_{1}^{2}3x^{2}\,dx.
Puxando as constantes para fora:
= 8\int_{1}^{2}x^{3}\,dx + 3\int_{1}^{2}x^{2}\,dx.
Agora usamos a regra da potência para cada termo. Uma antiderivada comum (uma primitiva) para x^{3} é \frac{x^{4}}{4} e para x^{2} é \frac{x^{3}}{3}. Multiplicando pelas constantes:
8\cdot\frac{x^{4}}{4} = 2x^{4},\qquad 3\cdot\frac{x^{3}}{3} = x^{3}.
Portanto uma primitiva F(x) do integrando é
F(x)=2x^{4}+x^{3}.

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é F(2)-F(1).
Calcule F(2):
F(2)=2\cdot 2^{4}+2^{3}=2\cdot 16 + 8 = 32+8 = 40.
Calcule F(1):
F(1)=2\cdot 1^{4}+1^{3}=2\cdot 1 + 1 = 2+1 = 3.
Subtraindo:
\int_{1}^{2}\left(8x^{3}+3x^{2}\right)\,dx = F(2)-F(1)=40-3=37.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança): derive F(x)=2x^{4}+x^{3}. Temos F'(x)=8x^{3}+3x^{2}, que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta e o cálculo da integral definida está consistente.

Resposta

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