Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
\int_{0}^{1}\left(1-x^{9}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\left(1-x^{9}\right)\,dx.
Informações dadas relevantes:
\text{integrando: }1-x^{9},\quad \text{limites de integração: }x=0\text{ até }x=1.çãé
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida?

Passo 2

Primeiro passo técnico: usar a propriedade de linearidade da integral, que diz que podemos separar soma e subtração dentro da integral e integrar termo a termo. Em forma matemática:
\int_{a}^{b}\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx,
e também
\int_{a}^{b}c\cdot f(x)\,dx=c\int_{a}^{b}f(x)\,dx
para constante c. Aplicando aqui:
\int_{0}^{1}\left(1-x^{9}\right)\,dx=\int_{0}^{1}1\,dx-\int_{0}^{1}x^{9}\,dx.

Passo 3

Agora precisamos de uma primitiva (antiderivada) para cada termo. Vamos lembrar a regra de potência para primitivas: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Por que isso funciona? Porque, ao derivar \frac{x^{n+1}}{n+1} pelo teorema fundamental do cálculo, obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n},
logo é realmente uma primitiva de x^{n}. Aqui n é um número real exceto -1.

Passo 4

Aplicando a regra aos termos: para o termo constante 1 podemos ver como x^{0}, então pela regra com n=0,
\int 1\,dx=\int x^{0}\,dx=\frac{x^{0+1}}{0+1}+C=x+C.
Ou simplesmente lembrar que a primitiva de uma constante c é cx.

Passo 5

Para o termo x^{9}, usamos a regra com n=9:
\int x^{9}\,dx=\frac{x^{10}}{10}+C.

Passo 6

Agora juntamos as primitivas para formar uma primitiva da função inteira. Uma primitiva F(x) de 1-x^{9} é
F(x)=x-\frac{x^{10}}{10}.
Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral definida é F(1)-F(0). Calculamos:
F(1)=1-\frac{1^{10}}{10}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10},
F(0)=0-\frac{0^{10}}{10}=0.
Portanto
\int_{0}^{1}\left(1-x^{9}\right)\,dx=F(1)-F(0)=\frac{9}{10}-0=\frac{9}{10}.

Passo 7

Verificação rápida de sentido: como 0\le x^{9}\le 1 em [0,1], temos 0\le 1-x^{9}\le 1, logo a área sob a curva entre 0 e 1 deve ser um número entre 0 e 1. O valor \frac{9}{10}=0,9 faz sentido (próximo de 1, já que x^{9} é pequeno na maior parte do intervalo).

Resposta

\dfrac{9}{10}

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