Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas relevantes:
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida?
Passo 2
Primeiro passo técnico: usar a propriedade de linearidade da integral, que diz que podemos separar soma e subtração dentro da integral e integrar termo a termo. Em forma matemática:
e também
para constante
. Aplicando aqui:
Passo 3
Agora precisamos de uma primitiva (antiderivada) para cada termo. Vamos lembrar a regra de potência para primitivas: para
,
Por que isso funciona? Porque, ao derivar
pelo teorema fundamental do cálculo, obtemos
logo é realmente uma primitiva de
. Aqui
é um número real exceto
.
Passo 4
Aplicando a regra aos termos: para o termo constante
podemos ver como
, então pela regra com
,
Ou simplesmente lembrar que a primitiva de uma constante
é
.
Passo 5
Para o termo
, usamos a regra com
:
Passo 6
Agora juntamos as primitivas para formar uma primitiva da função inteira. Uma primitiva
de
é
Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral definida é
. Calculamos:
Portanto
Passo 7
Verificação rápida de sentido: como
em
, temos
, logo a área sob a curva entre 0 e 1 deve ser um número entre 0 e 1. O valor
faz sentido (próximo de 1, já que
é pequeno na maior parte do intervalo).