Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
\int_{0}^{T}\left(x^{4}-8 x+7\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{T}\left(x^{4}-8x+7\right)\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }x^{4}-8x+7,\qquad\text{limites de integração: }0\text{ a }T.çã
Não há valores numéricos para T; trata-se de uma expressão em função de T. A tarefa é encontrar o valor exato dessa integral em termos de \,T.

Passo 2

O que vamos fazer: usar que a integral definida de uma soma é a soma das integrais (linearidade) e que cada termo polinomial tem uma primitiva simples pelo “regra da potência”. Depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a primitiva nos limites 0 e T.

Passo 3

Linha de ação 1 — linearidade das integrais. A propriedade diz que, para funções apropriadas e constantes a,b,
\int (a f(x) + b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Aqui vamos separar a integral em três integrais mais simples:
\int_{0}^{T}\left(x^{4}-8x+7\right)\,dx = \int_{0}^{T}x^{4}\,dx -8\int_{0}^{T}x\,dx +7\int_{0}^{T}1\,dx.

Passo 4

Linha de ação 2 — regra da potência (antiderivada de x^n). Para qualquer real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui n é o expoente da potência e x a variável de integração. Essa fórmula vem de derivar \frac{x^{n+1}}{n+1} e verificar que retorna x^n.

Passo 5

Aplicando a regra da potência termo a termo:
  • Para \int x^{4}\,dx, com n=4:
\int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5}+C.
  • Para \int x\,dx, note que x=x^{1}, com n=1:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C.
Multiplicando por -8 fica -8\cdot\frac{x^{2}}{2}=-4x^{2} (mais a constante).
  • Para \int 1\,dx:
\int 1\,dx = x + C,
pois 1=x^{0} e \frac{x^{0+1}}{0+1}=x.
Juntando as primitivas (omitindo a constante, já que vamos usar integral definida):
F(x)=\frac{x^{5}}{5}-4x^{2}+7x
é uma primitiva de x^{4}-8x+7.

Passo 6

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo: para integral definida,
\int_{0}^{T}\left(x^{4}-8x+7\right)\,dx = F(T)-F(0),
onde F é a primitiva encontrada no passo anterior.

Passo 7

Calcule F(T) e F(0):
F(T)=\frac{T^{5}}{5}-4T^{2}+7T,
F(0)=\frac{0^{5}}{5}-4\cdot 0^{2}+7\cdot 0=0.

Passo 8

Portanto a integral vale
\int_{0}^{T}\left(x^{4}-8x+7\right)\,dx=\frac{T^{5}}{5}-4T^{2}+7T.

Passo 9

Checagem rápida (exemplo numérico para ganhar confiança): se T=1,
\frac{1^{5}}{5}-4\cdot1^{2}+7\cdot1=\frac{1}{5}-4+7=\frac{1}{5}+3=\frac{16}{5},
e poderíamos confirmar numericamente somando áreas, mas a derivação anterior já é a forma exata.

Resposta

\displaystyle \frac{T^{5}}{5}-4T^{2}+7T

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