Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
Não há valores numéricos para
; trata-se de uma expressão em função de
. A tarefa é encontrar o valor exato dessa integral em termos de
.
Passo 2
O que vamos fazer: usar que a integral definida de uma soma é a soma das integrais (linearidade) e que cada termo polinomial tem uma primitiva simples pelo “regra da potência”. Depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a primitiva nos limites
e
.
Passo 3
Linha de ação 1 — linearidade das integrais. A propriedade diz que, para funções apropriadas e constantes
,
Aqui vamos separar a integral em três integrais mais simples:
Passo 4
Linha de ação 2 — regra da potência (antiderivada de
). Para qualquer real
,
onde
é a constante de integração. Aqui
é o expoente da potência e
a variável de integração. Essa fórmula vem de derivar
e verificar que retorna
.
Passo 5
Aplicando a regra da potência termo a termo:
- Para
, com :
- Para
, note que , com :
Multiplicando por
fica
(mais a constante).
- Para
:
pois
e
.
Juntando as primitivas (omitindo a constante, já que vamos usar integral definida):
é uma primitiva de
.
Passo 6
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo: para integral definida,
onde
é a primitiva encontrada no passo anterior.
Passo 7
Calcule
e
:
Passo 8
Portanto a integral vale
Passo 9
Checagem rápida (exemplo numérico para ganhar confiança): se
,
e poderíamos confirmar numericamente somando áreas, mas a derivação anterior já é a forma exata.