Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e atenção importante:
- A função integranda é
. - Precisamos encontrar uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função
tal que seja a integranda. - Há uma restrição no domínio:
(porque aparecem divisões por ).
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a expressão algébrica antes de integrar. Note que
Agora usamos a fórmula de expansão do quadrado: para quaisquer
e
,
Aplicando com
e
obtemos
Portanto a integral vira uma forma mais simples:
Passo 3
Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair:
Explicar rapidamente: isso significa que podemos tratar cada parcela separadamente — é a coisa mais prática na prova.
Passo 4
Calcular
. Primeiro reescrevemos em potência:
Aplicamos a regra da potência para integrais: para
,
Aqui
, então
(Obs.: a regra não vale para
; esse caso é tratado com
.)
Passo 5
Calcular
. Usamos a primitiva conhecida:
Portanto
Importante: usamos
porque a função
tem sinal trocado quando
; a primitiva que funciona para ambos os lados é
.
Passo 6
Calcular
:
Agora juntamos as três primitivas (e agrupamos as constantes de integração em uma única constante
):
Passo 7
Verificação rápida (bom costume na prova): derivamos a resposta para checar se volta à integranda. Seja
Derivando termo a termo:
que é exatamente a forma simplificada da integranda, então está correto.