Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
\int\left(\frac{1-x}{x}\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{1-x}{x}\right)^{2}dx.
Informações dadas e atenção importante:
  • A função integranda é \left(\frac{1-x}{x}\right)^{2}.
  • Precisamos encontrar uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x) seja a integranda.
  • Há uma restrição no domínio: x\neq 0 (porque aparecem divisões por x).

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão algébrica antes de integrar. Note que
\frac{1-x}{x}=\frac{1}{x}-1.
Agora usamos a fórmula de expansão do quadrado: para quaisquer a e b,
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Aplicando com a=\frac{1}{x} e b=1 obtemos
\left(\frac{1}{x}-1\right)^{2}=\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x}+1.
Portanto a integral vira uma forma mais simples:
\int\left(\frac{1-x}{x}\right)^{2}dx=\int\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x}+1\right)dx.

Passo 3

Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair:
\int\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x}+1\right)dx=\int\frac{1}{x^{2}}dx-2\int\frac{1}{x}dx+\int 1\,dx.
Explicar rapidamente: isso significa que podemos tratar cada parcela separadamente — é a coisa mais prática na prova.

Passo 4

Calcular \int\frac{1}{x^{2}}dx. Primeiro reescrevemos em potência:
\frac{1}{x^{2}}=x^{-2}.
Aplicamos a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-2, então
\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}=-\frac{1}{x}.
(Obs.: a regra não vale para n=-1; esse caso é tratado com \int \frac{1}{x}dx=\ln|x|.)

Passo 5

Calcular -2\int\frac{1}{x}dx. Usamos a primitiva conhecida:
\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C.
Portanto
-2\int\frac{1}{x}dx=-2\ln|x|.
Importante: usamos \ln|x| porque a função \frac{1}{x} tem sinal trocado quando x<0; a primitiva que funciona para ambos os lados é \ln|x|.

Passo 6

Calcular \int 1\,dx:
\int 1\,dx = x.
Agora juntamos as três primitivas (e agrupamos as constantes de integração em uma única constante C):
-\frac{1}{x}-2\ln|x|+x+C.

Passo 7

Verificação rápida (bom costume na prova): derivamos a resposta para checar se volta à integranda. Seja
F(x)=x-\frac{1}{x}-2\ln|x|.
Derivando termo a termo:
F'(x)=1-\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)-2\cdot\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x}=\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x}+1,
que é exatamente a forma simplificada da integranda, então está correto.

Resposta

x-\dfrac{1}{x}-2\ln|x|+C

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