Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f tem uma descontinuidade em 0 , então \int_{-1}^{1} f(x) d x não existe.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
\text{Se }f\text{ tem uma descontinuidade em }0\text{, então }\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \text{ não existe.}
Informações dadas: apenas que f tem uma descontinuidade em 0. Não há outras hipóteses (por exemplo, não foi dito se f é limitada). A tarefa é ou provar que a afirmação é verdadeira (com razão), ou mostrar que é falsa (com contraexemplo) e explicar por quê.
Passo 2
Vou explicar o conceito de existência da integral (Riemann), porque isso é o que precisamos usar para decidir a afirmação.
Definição intuitiva e técnica:
Trabalhamos com a integral de Riemann em [-1,1]. Para funções limitadas, a integral existe quando as aproximações por somas superiores e inferiores coincidem.
Para uma partição P de [-1,1] (ou seja, pontos -1=x_0<x_1<\dots<x_n=1), definimos para cada subintervalo [x_{k-1},x_k] o supremo M_k=\sup\{f(x):x_{k-1}\le x\le x_k\} e o ínfimo m_k=\inf\{f(x):x_{k-1}\le x\le x_k\}.
A soma superior (upper sum) relativa a P é
U(f,P)=\sum_{k=1}^{n} M_k (x_k-x_{k-1}),
e a soma inferior (lower sum) é
L(f,P)=\sum_{k=1}^{n} m_k (x_k-x_{k-1}).
A integral superior (upper integral) é \overline{\int_{-1}^1} f = \inf_P U(f,P) (inf sobre todas as partições) e a integral inferior (lower integral) é \underline{\int_{-1}^1} f = \sup_P L(f,P).
A função é Riemann-integrável em [-1,1] e a integral \int_{-1}^1 f existe se, e só se, \overline{\int_{-1}^1} f = \underline{\int_{-1}^1} f. O valor comum é a integral.
Estratégia didática: para mostrar que uma função com descontinuidade em 0 pode ter a integral existente, vou construir uma função simples que é descontínua em 0 mas cujas somas superiores e inferiores convergem para o mesmo número.
Passo 3
Apresento o contraexemplo clássico e simples (muito usado em provas): considere a função f\) definida por
\[f(x)=\begin{cases} 0,& x\neq 0,\\[4pt] 1,& x=0. \end{cases}
Esta função está bem definida em [-1,1]\] e é limitada (valores apenas \(0 ou 1).
Verificação da descontinuidade em 0:
Para x\neq 0 temos f(x)=0. Logo \lim_{x\to 0} f(x)=0 (porque valores próximos de 0 são todos 0).
Mas f(0)=1. Assim \lim_{x\to 0} f(x)\neq f(0), logo f é descontínua em 0.
Portanto satisfaz a hipótese do enunciado (tem uma descontinuidade em 0).]
Passo 4
Mostro que a integral de f em [-1,1] existe e calculo seu valor, usando somas superiores e inferiores — sem equipamento avançado, só raciocínio com supremum e ínfimo em intervalos.
Primeiro, as somas inferiores:
Tome qualquer partição P. Em cada subintervalo [x_{k-1},x_k] que tenha comprimento positivo existe algum ponto diferente de 0 (pois um intervalo real de comprimento positivo contém infinitos pontos). Nesses pontos f vale 0. Logo, o ínfimo m_k de f nesse subintervalo é 0.
Portanto para qualquer partição P temos L(f,P)=0.
Assim a integral inferior é
\underline{\int_{-1}^1} f = \sup_P L(f,P) = 0.
Passo 5
Agora as somas superiores:
Em qualquer subintervalo que não contenha 0, o supremo M_k é 0 (pois f é identicamente 0 fora de 0).
Em qualquer subintervalo que contenha 0, o supremo M_k é 1 (pois em x=0 a função vale 1).
Então, para uma partição P que tenha exatamente um subintervalo [a,b] contendo 0, a soma superior é
U(f,P) = 1\cdot (b-a) + 0\cdot(\text{soma dos comprimentos dos outros intervalos}) = b-a.
Mas podemos escolher partições arbitrariamente refinadas. Dado qualquer \varepsilon>0, escolha uma partição P que isole 0 em um subintervalo [a,b] de comprimento b-a<\varepsilon (por exemplo, use pontos -1,\,-\varepsilon/2,\,\varepsilon/2,\,1 ou refine mais fino). Para essa partição U(f,P)<\varepsilon.
Assim o infimo das somas superiores é 0:
\overline{\int_{-1}^1} f = \inf_P U(f,P) = 0.
Passo 6
Como obtivemos
\underline{\int_{-1}^1} f = 0 \quad\text{e}\quad \overline{\int_{-1}^1} f = 0,
temos igualdade entre integral inferior e superior, logo f é Riemann-integrável em [-1,1] e
\int_{-1}^1 f(x)\,dx = 0.
Portanto este f tem uma descontinuidade em 0, mas a integral \int_{-1}^1 f existe — é zero. Isso mostra que a afirmação do enunciado é falsa.
Passo 7
Comentário final e motivador (rápido): a intuição é que descontinuidades isoladas (ou mesmo um conjunto finito, ou conjunto de medida zero) não impedem a integrabilidade de Riemann: podemos sempre fazer os intervalos contendo as descontinuidades tão pequenos que a contribuição superior ao somatório é arbitrariamente pequena. Em contraste, funções como a função de Dirichlet (que vale 1 em racionais e 0 em irracionais) são descontinuas em todo ponto e não são Riemann-integráveis. Então cuidado: “alguma descontinuidade” não basta para garantir não integrabilidade — depende do tipo e da quantidade de descontinuidades. Força que você tá indo bem — esses contraexemplos salvam muita prova!
Resposta
Falsa. Um contraexemplo é f(x)=\begin{cases}0,&x\ne0,\\[4pt]1,&x=0,\end{cases}
que é descontínua em 0 e satisfaz \int_{-1}^{1} f(x)\,dx=0.]