Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
\int_{0}^{2} y^{2} \sqrt{1+y^{3}} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2} y^{2} \sqrt{1+y^{3}}\,dy.
Informações dadas: integrais com limites 0 e 2; integrando y^{2}\sqrt{1+y^{3}}. A tarefa é obter o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Observação útil (motivo da técnica): dentro da raiz aparece 1+y^{3}. Se fizermos uma troca de variável do tipo u=1+y^{3} veremos que du envolve exatamente y^{2}dy (porque a derivada de y^{3} é 3y^{2}). Essa coincidência é o sinal clássico de que a técnica de substituição (mudança de variável) é apropriada. A ideia da substituição é reescrever a integral em termos de u, trocar y^{2}dy por uma expressão em du e também converter os limites de integração para valores em u.

Passo 3

Façamos a substituição:
u = 1+y^{3}.
Derivando ambos os lados:
du = 3y^{2}\,dy \quad\Rightarrow\quad y^{2}\,dy = \frac{1}{3}\,du.
Agora trocamos os limites: para y=0 tem-se u=1+0^{3}=1; para y=2 tem-se u=1+2^{3}=1+8=9.
Substituindo na integral obtemos (colocando o fator \tfrac{1}{3} fora da integral):
\int_{0}^{2} y^{2}\sqrt{1+y^{3}}\,dy = \int_{u=1}^{u=9} \frac{1}{3}\sqrt{u}\,du = \frac{1}{3}\int_{1}^{9} \sqrt{u}\,du.

Passo 4

Reescrevemos a raiz como potência: \sqrt{u}=u^{1/2}. Usamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Multiplicando pelo fator externo \tfrac{1}{3} obtemos a primitiva da função transformada:
\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}=\frac{2}{9}u^{3/2}.

Passo 5

Avaliamo-la entre os limites u=1 e u=9:
\frac{2}{9}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{1}^{9} = \frac{2}{9}\bigl(9^{3/2}-1^{3/2}\bigr).
Calculemos 9^{3/2}: isso é (\sqrt{9})^{3}=3^{3}=27. Também 1^{3/2}=1. Logo
\frac{2}{9}(27-1)=\frac{2}{9}\cdot 26=\frac{52}{9}.

Passo 6

(Verificação rápida) Se definirmos a antiderivada em y como F(y)=\tfrac{2}{9}(1+y^{3})^{3/2}, então por cadeia
F'(y)=\frac{2}{9}\cdot\frac{3}{2}(1+y^{3})^{1/2}\cdot 3y^{2}=y^{2}(1+y^{3})^{1/2},
que é exatamente o integrando. Isso confirma que a primitiva que usamos está correta.

Resposta

\dfrac{52}{9}

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