Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas: integrais com limites
e
; integrando
. A tarefa é obter o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Observação útil (motivo da técnica): dentro da raiz aparece
. Se fizermos uma troca de variável do tipo
veremos que
envolve exatamente
(porque a derivada de
é
). Essa coincidência é o sinal clássico de que a técnica de substituição (mudança de variável) é apropriada. A ideia da substituição é reescrever a integral em termos de
, trocar
por uma expressão em
e também converter os limites de integração para valores em
.
Passo 3
Façamos a substituição:
Derivando ambos os lados:
Agora trocamos os limites: para
tem-se
; para
tem-se
.
Substituindo na integral obtemos (colocando o fator fora da integral):
Substituindo na integral obtemos (colocando o fator
Passo 4
Reescrevemos a raiz como potência:
. Usamos a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator externo
obtemos a primitiva da função transformada:
Passo 5
Avaliamo-la entre os limites
e
:
Calculemos
: isso é
. Também
. Logo
Passo 6
(Verificação rápida) Se definirmos a antiderivada em
como
, então por cadeia
que é exatamente o integrando. Isso confirma que a primitiva que usamos está correta.