Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
\int_{0}^{1} y\left(y^{2}+1\right)^{5} d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1} y\left(y^{2}+1\right)^{5}\,dy.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável de integração é y.
  • O intervalo de integração é de y=0 até y=1.
  • O integrando é y\left(y^{2}+1\right)^{5}.
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Observação que motiva a técnica: dentro do parêntese temos a expressão \left(y^{2}+1\right) elevada a uma potência, e o fator multiplicativo y está presente fora do parêntese. Sempre que vemos uma função composta g(h(y)) e o integrando tem algo proporcional a h'(y), é eficiente usar a substituição u=h(y). Aqui tome:
u = y^{2}+1.
Agora calcule a diferencial du. Diferenciando em relação a y obtemos
\frac{du}{dy} = 2y \quad\Rightarrow\quad du = 2y\,dy.
Isolando y\,dy (porque ele aparece no integrando) temos
y\,dy = \frac{1}{2}\,du.
Explico: du é a variação de u associada à variação de y. A relação du = 2y\,dy permite trocar o elemento y\,dy por \tfrac{1}{2}\,du na integral.

Passo 3

Troque a variável na integral e atualize os limites. Quando y=0,
u = 0^{2}+1 = 1.
Quando y=1,
u = 1^{2}+1 = 2.
Substituindo u e y\,dy na integral original:
\int_{0}^{1} y\left(y^{2}+1\right)^{5}\,dy = \int_{u=1}^{u=2} \left(u^{5}\right)\left(\frac{1}{2}\,du\right).

Passo 4

Fatore a constante \tfrac{1}{2} para fora da integral e escreva a integral em u:
\int_{1}^{2} u^{5}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{5}\,du.
Agora use a regra de integração de potências: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=5, então
\int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6}.

Passo 5

Aplique a primitiva com os limites:
\frac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{5}\,du = \frac{1}{2}\left[\frac{u^{6}}{6}\right]_{1}^{2} = \frac{1}{12}\left[u^{6}\right]_{1}^{2}.
Calcule u^{6} em 2 e em 1:
2^{6}=64,\qquad 1^{6}=1.
Portanto
\frac{1}{12}\left(64-1\right)=\frac{1}{12}\cdot 63 = \frac{63}{12}.

Passo 6

Simplifique a fração \tfrac{63}{12}. Dividindo numerador e denominador por 3,
\frac{63}{12}=\frac{21}{4}.
Como verificação rápida (controle): uma primitiva direta da função original é
F(y)=\frac{1}{12}\left(y^{2}+1\right)^{6},
pois derivando F obtemos F'(y)=\frac{1}{12}\cdot 6\left(y^{2}+1\right)^{5}\cdot 2y = y\left(y^{2}+1\right)^{5}, que é o integrando. Aplicando F(1)-F(0) dá exatamente \tfrac{21}{4}, confirmando o cálculo.

Resposta

\dfrac{21}{4}

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