Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável de integração é
. - O intervalo de integração é de
até . - O integrando é
.
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Observação que motiva a técnica: dentro do parêntese temos a expressão
elevada a uma potência, e o fator multiplicativo
está presente fora do parêntese. Sempre que vemos uma função composta
e o integrando tem algo proporcional a
, é eficiente usar a substituição
. Aqui tome:
Agora calcule a diferencial
. Diferenciando em relação a
obtemos
Isolando
(porque ele aparece no integrando) temos
Explico:
é a variação de
associada à variação de
. A relação
permite trocar o elemento
por
na integral.
Passo 3
Troque a variável na integral e atualize os limites. Quando
,
Quando
,
Substituindo
e
na integral original:
Passo 4
Fatore a constante
para fora da integral e escreva a integral em
:
Agora use a regra de integração de potências: para
,
Aqui
, então
Passo 5
Aplique a primitiva com os limites:
Calcule
em
e em
:
Portanto
Passo 6
Simplifique a fração
. Dividindo numerador e denominador por
,
Como verificação rápida (controle): uma primitiva direta da função original é
pois derivando
obtemos
, que é o integrando. Aplicando
dá exatamente
, confirmando o cálculo.