Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f^{\prime} for contínua em [1,3], então
\int_{1}^{3} f^{\prime}(v) d v=f(3)-f(1)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte.
  • Informação: f' é contínua em [1,3].
  • Informação implícita: existe uma função f cuja derivada é f'.
  • Pedido: decidir se a afirmação
\int_{1}^{3} f'(v)\,dv = f(3)-f(1)
é verdadeira ou falsa; se for verdadeira, explicar por quê; se for falsa, justificar com contraexemplo.

Passo 2

Vamos construir uma função ligada à integral que aparece na igualdade. Defina
F(x)=\int_{1}^{x} f'(v)\,dv,\qquad x\in[1,3].
Comentário didático: como f' é contínua em [1,3], ela é integrável e a integral acima está bem definida para todo x em [1,3]. A estratégia é mostrar que F e f têm a mesma derivada, o que implicará que diferem apenas por uma constante.

Passo 3

Calcule a derivada de F por definição (quociente diferencial). Para x\in(1,3) e h\neq0 tal que x+h\in[1,3],
\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f'(v)\,dv.
Agora use a propriedade de continuidade de f' em x: em um intervalo pequeno ao redor de x a função f' varia pouco. Mais formalmente, para h>0 defina
m_h=\min_{v\in[x,x+h]} f'(v),\qquad M_h=\max_{v\in[x,x+h]} f'(v).
Pelo teorema do valor extremo (que vale porque f' é contínua no intervalo fechado), m_h e M_h existem, e temos
m_h h \le \int_{x}^{x+h} f'(v)\,dv \le M_h h.
Dividindo por h>0,
m_h \le \frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f'(v)\,dv \le M_h.
Como h\to0^+, pela continuidade de f' em x temos m_h\to f'(x) e M_h\to f'(x). Pelo princípio do aperto (squeeze), segue
\lim_{h\to0^+}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f'(x).
O caso h<0 é análogo tomando o intervalo [x+h,x]. Portanto o limite simétrico existe e
F'(x)=f'(x)\quad\text{para todo }x\in(1,3).
Como as funções envolvidas são contínuas no fecho, essa igualdade vale em todo [1,3] no sentido apropriado.

Passo 4

Agora use a consequência simples: se duas funções diferenciáveis têm a mesma derivada num intervalo, então diferem por uma constante. Defina G(x)=f(x)-F(x). Então
G'(x)=f'(x)-F'(x)=0\quad\text{para todo }x\in(1,3).
Pelo teorema de Rolle / valor médio, uma função com derivada nula em um intervalo é constante nesse intervalo. Logo existe C\in\mathbb{R} tal que
f(x)-F(x)=C\quad\text{para todo }x\in[1,3].

Passo 5

Determine a constante C avaliando em x=1. Pelo jeito que definimos F,
F(1)=\int_{1}^{1} f'(v)\,dv=0.
Assim
f(1)-F(1)=C \implies C=f(1).
Portanto para todo x\in[1,3] vale
F(x)=f(x)-f(1).
Em particular, para x=3
\int_{1}^{3} f'(v)\,dv = F(3)=f(3)-f(1).

Passo 6

Intuição e exemplo concreto. Intuitivamente, integrar a derivada dá a variação líquida da função: a integral de f' acumula as taxas de variação e resulta na mudança total de f. Exemplo simples: para f(x)=x^2 temos f'(x)=2x. Calculando
\int_{1}^{3} 2x\,dx = \bigl[x^2\bigr]_{1}^{3}=9-1=8
e também f(3)-f(1)=9-1=8, concordando com a identidade.

Resposta

Verdadeira.

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