Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
for contínua em
, então
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte.
- Informação:
é contínua em . - Informação implícita: existe uma função
cuja derivada é . - Pedido: decidir se a afirmação
é verdadeira ou falsa; se for verdadeira, explicar por quê; se for falsa, justificar com contraexemplo.
Passo 2
Vamos construir uma função ligada à integral que aparece na igualdade. Defina
Comentário didático: como
é contínua em
, ela é integrável e a integral acima está bem definida para todo
em
. A estratégia é mostrar que
e
têm a mesma derivada, o que implicará que diferem apenas por uma constante.
Passo 3
Calcule a derivada de
por definição (quociente diferencial). Para
e
tal que
,
Agora use a propriedade de continuidade de
em
: em um intervalo pequeno ao redor de
a função
varia pouco. Mais formalmente, para
defina
Pelo teorema do valor extremo (que vale porque
é contínua no intervalo fechado),
e
existem, e temos
Dividindo por
,
Como
, pela continuidade de
em
temos
e
. Pelo princípio do aperto (squeeze), segue
O caso
é análogo tomando o intervalo
. Portanto o limite simétrico existe e
Como as funções envolvidas são contínuas no fecho, essa igualdade vale em todo
no sentido apropriado.
Passo 4
Agora use a consequência simples: se duas funções diferenciáveis têm a mesma derivada num intervalo, então diferem por uma constante. Defina
. Então
Pelo teorema de Rolle / valor médio, uma função com derivada nula em um intervalo é constante nesse intervalo. Logo existe
tal que
Passo 5
Determine a constante
avaliando em
. Pelo jeito que definimos
,
Assim
Portanto para todo
vale
Em particular, para
Passo 6
Intuição e exemplo concreto. Intuitivamente, integrar a derivada dá a variação líquida da função: a integral de
acumula as taxas de variação e resulta na mudança total de
. Exemplo simples: para
temos
. Calculando
e também
, concordando com a identidade.
Resposta
Verdadeira.