Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. \int_{-5}^{5}\left(a x^{2}+b x+c\right) d x=2 \int_{0}^{5}\left(a x^{2}+c\right) d x.
é verdadeira ou falsa. As informações dadas são apenas a expressão integranda \left(a x^{2}+b x+c\right) e os intervalos de integração [-5,5] e [0,5]. Não há mais condições sobre a, b, c, portanto devemos avaliar a igualdade para valores gerais desses coeficientes (presumivelmente reais).
Passo 2
Vamos lembrar duas propriedades básicas e muito úteis das integrais (explico como se usa isso na prova):
Linearidade da integral: para quaisquer funções integráveis f e g e constantes \alpha,\beta,
\int (\alpha f + \beta g) = \alpha \int f + \beta \int g.
Isto significa que podemos separar a integral da soma em soma de integrais e puxar constantes para fora da integral — muito usado para polinômios como aqui.
Paridade (funções pares e ímpares) em integrais simétricas: se h é par (isto é, h(-x)=h(x)), então
\int_{-L}^{L} h(x)\,dx = 2\int_{0}^{L} h(x)\,dx.
Se h é ímpar (isto é, h(-x)=-h(x)), então
\int_{-L}^{L} h(x)\,dx = 0.
Vou mostrar rapidamente por que a segunda fórmula da parte ímpar é verdadeira: usando a substituição u=-x numa integral sobre [-L,L] obtemos que a contribuição à esquerda de x>0 cancela a de x<0 quando a função é ímpar, resultando zero. Isso é um resultado padrão e muito útil em provas.
Passo 3
Decompondo o integrando em parte par e parte ímpar:
a x^{2}+b x+c = \underbrace{(a x^{2}+c)}_{\text{par}} \;+\; \underbrace{b x}_{\text{ímpar}}.
Explico: a função x\mapsto a x^{2}+c é par porque (a(-x)^{2}+c)=a x^{2}+c. A função x\mapsto b x é ímpar porque b(-x)=-b x.
Passo 4
Aplicando linearidade da integral ao lado esquerdo:
Como as deduções acima não usaram nenhuma hipótese especial sobre a, b ou c além de serem constantes reais, a igualdade vale para quaisquer a,b,c\in\mathbb{R}. Se quiseres conferir com números: toma a=1, b=2, c=3. Então \int_{-5}^{5}(x^{2}+2x+3)dx = 2\int_{0}^{5}(x^{2}+3)dx; calculando dá (curta verificação) o mesmo valor em ambos os lados.