Calcule as seguintes integrais impróprias
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral imprópria dada:
. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais que vão até o infinito, e vamos precisar usar conhecimentos de limites e funções logarítmicas para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria com limite infinito é resolvida usando o conceito de limite. Isso significa que vamos substituir o infinito por uma variável, digamos
, calcular a integral de 3 até
, e depois ver o que acontece quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos integrar a função
. A integral de
é
, onde
é a constante de integração. Aqui,
, então precisamos usar a regra da substituição.
Passo 4
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de 3 até
:
Passo 6
Para encontrar a integral imprópria, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
tende ao infinito quando
tende ao infinito. Portanto:
E como subtrair uma constante não altera o fato de que o limite é infinito:
Resposta
A integral diverge para mais infinito, ou seja,
.