Calcule as seguintes integrais impróprias
c) integral3^+infty 12 x-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria dada: integral3^+infty 12 x-1 , dx. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais que vão até o infinito, e vamos precisar usar conhecimentos de limites e funções logarítmicas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria com limite infinito é resolvida usando o conceito de limite. Isso significa que vamos substituir o infinito por uma variável, digamos b, calcular a integral de 3 até b, e depois ver o que acontece quando b tende ao infinito.

Passo 3

Vamos integrar a função 12x - 1. A integral de 1u , du é ln|u| + C, onde C é a constante de integração. Aqui, u = 2x - 1, então precisamos usar a regra da substituição.

Passo 4

Fazendo a substituição u = 2x - 1, temos du/dx = 2, ou seja, dx = du2. Então, a integral fica:
integral 12x - 1 , dx = integral 1u cdot du2 = 12 ln|u| + C = 12 ln|2x - 1| + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 3 até b:
integral3^b 12x - 1 , dx = 12 ln|2b - 1| - 12 ln|2 cdot 3 - 1| = 12 ln(2b - 1) - 12 ln(5)

Passo 6

Para encontrar a integral imprópria, calculamos o limite quando b tende ao infinito:
limb to +infty ( 12 ln(2b - 1) - 12 ln(5) )
Sabemos que ln(2b - 1) tende ao infinito quando b tende ao infinito. Portanto:
limb to +infty 12 ln(2b - 1) = +infty
E como subtrair uma constante não altera o fato de que o limite é infinito:
+infty - 12 ln(5) = +infty

Resposta

A integral diverge para mais infinito, ou seja, integral3^+infty 12 x-1 , dx = +infty.

Exercícios relacionados