Calcule as seguintes integrais impróprias
g) integral1^+infty x^2raizx^3+2 d x

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral imprópria, especificamente:
integral1^+infty x^2raizx^3+2 , dx
Aqui, estamos lidando com integrais que têm limites infinitos, e vamos precisar usar técnicas de substituição para resolver. Vamos passo a passo para entender como calcular essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral usando uma substituição. Vamos definir:
u = x^3 + 2
Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 3x^2 Rightarrow du = 3x^2 , dx em relação a x^2 , dx = du3 :
Isso significa que:

Passo 3

Substituindo integral1^+infty x^2raizx^3+2 , dx = integralu(1)^u(+infty) 1raizu cdot du3 e 13 integral3^+infty u^-1/2 , du na integral original, temos:
Onde e .
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral de integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 + C :
13 cdot 2u^1/2 |3^+infty = 23 [ raizu ]3^+infty
Aplicando isso na nossa integral:

Passo 5

Agora, avaliamos os limites:
  1. Para raizu = +infty :
raiz3
  1. Para 23 ( +infty - raiz3 ) = +infty :
Substituindo na expressão:

Resposta

A integral é divergente e tende ao infinito.

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