Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem.
a)
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Passo 1
Vamos resolver o exercício de derivadas parciais de segunda ordem para a função
. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e depois aplicar esse processo duas vezes para obter as derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de uma função em relação a uma das variáveis significa que derivamos a função considerando a outra variável como uma constante. Assim, para
, teremos derivadas parciais em relação a
e em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
-
Derivada parcial em relação a
( ): Aqui, derivamos cada termo em relação a, tratando como constante. -
Derivada parcial em relação a
( ): Nesta derivada, tratamoscomo constante.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente as derivadas de primeira ordem.
-
Segunda derivada parcial em relação a
( ): Aqui, derivamosem relação a , tratando como constante. -
Derivada mista (
): Nesta derivada, derivamosem relação a . -
Segunda derivada parcial em relação a
( ): Aqui, derivamosem relação a , tratando como constante.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: