Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem.
a) f(x, y) = 5 x^4 y^3 + 2 x y

Passo 1

Vamos resolver o exercício de derivadas parciais de segunda ordem para a função . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e depois aplicar esse processo duas vezes para obter as derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de uma função em relação a uma das variáveis significa que derivamos a função considerando a outra variável como uma constante. Assim, para , teremos derivadas parciais em relação a e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
  1. Derivada parcial em relação a ( ):
    Aqui, derivamos cada termo em relação a , tratando como constante.
  2. Derivada parcial em relação a ( ):
    Nesta derivada, tratamos como constante.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente as derivadas de primeira ordem.
  1. Segunda derivada parcial em relação a ( ):
    Aqui, derivamos em relação a , tratando como constante.
  2. Derivada mista ( ):
    Nesta derivada, derivamos em relação a .
  3. Segunda derivada parcial em relação a ( ):
    Aqui, derivamos em relação a , tratando como constante.

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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