Calcule as seguintes integrais impróprias
d) integral3^+infty 1(2 x-1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral imprópria:
integral3^+infty 1(2x - 1)^2 , dx
Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo de integrais improprias, onde o limite de integração vai até o infinito. Para resolver, vamos precisar entender como avaliar limites no cálculo de integrais e saber integrar funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral imprópria de uma forma que facilite o cálculo. Como o limite superior é infinito, podemos substituir essa parte por um limite:
integral3^+infty 1(2x - 1)^2 , dx = limb to +infty integral3^b 1(2x - 1)^2 , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral definida . Para isso, podemos fazer uma substituição simples para facilitar a integração:
Seja , então ou seja, .

Passo 4

Substituindo na integral:
integral 1u^2 cdot du2 = 12 integral u^-2 , du
Integrando 12 cdot ( u^-1-1 ) + C = -12u + C :
-12(2x - 1) + C
Voltando para :

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral definida de 3 até [ -12(2x - 1) ]3^b = -12(2b - 1) + 12(2 cdot 3 - 1) = -12(2b - 1) + 12(6 - 1) = -12(2b - 1) + 110 :

Passo 6

Agora, vamos aplicar o limite quando limb to +infty ( -12(2b - 1) + 110 ) = 0 + 110 = 110 tende ao infinito:

Resposta

O valor da integral imprópria é .

Exercícios relacionados