Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{d x}{\cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{dx}{\cos(x)}.
O conteúdo envolve integrais impróprias com singularidade em x=\frac{\pi}{2}, já que \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.

Passo 2

Para lidar com o ponto em que o denominador se anula, reescrevemos a integral como limite:
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{dx}{\cos(x)} =\lim_{a\to\frac{\pi}{2}^+}\int_{a}^{\pi}\frac{dx}{\cos(x)}.

Passo 3

Observamos que \tfrac{1}{\cos(x)}=\operatorname{sec}(x). Uma primitiva de \operatorname{sec}(x) é
\int \operatorname{sec}(x)\,dx = \ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr| + C.

Passo 4

Definindo
F(x)=\ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr|,
temos
\int_{a}^{\pi}\frac{dx}{\cos(x)} = F(\pi)-F(a).
Em x=\pi vale
\operatorname{sec}(\pi)=-1,\quad \tan(\pi)=0 \quad\Longrightarrow\quad F(\pi)=\ln\bigl|{-1}+0\bigr|=\ln(1)=0.
Quando a\to\frac{\pi}{2}^+, \cos(a)\to0^- e \sin(a)\to1, logo
\operatorname{sec}(a)+\tan(a) =\frac{1}{\cos(a)}+\frac{\sin(a)}{\cos(a)} \;\longrightarrow\;-\infty,
o que faz \bigl|\operatorname{sec}(a)+\tan(a)\bigr|\to+\infty e \ln\bigl|\operatorname{sec}(a)+\tan(a)\bigr|\to+\infty.
Portanto,
F(\pi)-F(a)=0-(+\infty)=-\infty,
mostrando que a integral não converge.

Resposta

A integral é divergente (vale -\infty).

Exercícios relacionados